論理から集合へ　：　トピック一覧

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【言葉でざっくり】

「『関係・条件Pを満たさない』という関係・条件の真理集合」は、
「『関係・条件Pの真理集合』の補集合」に一致。

【記号で】

・変項xの議論領域をX, 変項yの議論領域をYとする二項述語・２変数命題関数P(x,y)について、

　　　　{ (x,y)∈X×Y | ¬ P(x,y) } ＝  { (x,y)∈X×Y | P(x,y) } ^c   　

※なぜ？

　・集合Ωを議論領域とする一項述語・1変数命題関数P(x)について、　{ x∈Ω | ¬ P(x) } ＝ { x∈Ω | P(x) }^c  が成り立つ　（∵）　。

　・議論領域の集合Ωとして、X×Y＝ { (x',y') | x'∈X かつ y'∈Y } をとって、
　　X×Y＝ { (x',y') | x'∈X かつ y'∈Y } を議論領域とする一項述語・1変数命題関数P(x)を考えても、　上記は成り立つから、　
　　　　　　　　　　{ x∈X×Y | ¬ P(x) } ＝ { x∈X×Y | P(x) }^c  。

　・X×Y＝ { (x',y') | x'∈X かつ y'∈Y } を議論領域とする一項述語・1変数命題関数P(x)の変項xとは、順序対 (x',y')に他ならないから、
　　上記は、以下のように書ける。
　　　　　　　{ (x',y')∈X×Y | ¬ P( (x',y')  ) } ＝ { (x',y')∈X×Y | P( (x',y')  ) }^c  。

　・ここで、X×Y＝ { (x',y') | x'∈X かつ y'∈Y } を議論領域とする一項述語・1変数命題関数　P( (x',y')  )　とは、
　　　　　変項x'の議論領域をX, 変項y'の議論領域をYとする二項述語・２変数命題関数P(x',y')にほかならないので、
　　　　　{ (x',y')∈X×Y | ¬ P(x',y') } ＝  { (x',y')∈X×Y | P(x',y') } ^c   　
　　　　　

　　※このとき、 ¬ P(x',y') も、X×Yを議論領域とする述語・命題関数となる点に注意。　

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　【設定】

　　P(x,y)を、変項xの議論領域をX, 変項yの議論領域をYとする二項述語・２変数命題関数P(x,y)とする。

　【本題】

　　以下の表現は、同一のことがらを表すので、互いに言い換えてよい。

　　　【表現1】　 ¬ P(a,b)　 　　　　　「aとbのあいだに関係Pが ない」「aとbは条件Pを満たさ ない」

　　　【表現2】　(a,b)   { (x,y)∈X×Y | P(x,y) }　　「(a,b)は《関係・条件Pを 満たすペアを全部あつめた集合》に属さない」　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　「(a,b)は《関係・条件Pの真理集合》に属さない」　

　　　【表現3】　(a,b)∈ { (x,y)∈X×Y | ¬P(x,y) }　 　「(a,b)は『《関係・条件Pを満たさない》の真理集合』に属す」

　　　【表現4】　(a,b)∈ { (x,y)∈X×Y | P(x,y) } ^c 　　　「(a,b)は『関係・条件Pの真理集合のX×Yにおける補集合』に属す」

　　　※なぜ？　表現1と表現2:　 P(a,b) と (a,b) ∈ { (x,y)∈X×Y | P(x,y) }　 を互いに言い換えていいから(∵)、その対偶も成り立つ。

　　　　　　　　表現1と表現3： Q(a,b)と (a,b) ∈ { (x,y)∈X×Y | Q(x,y) }　は互いに言い換えてよい （∵）。
　　　　　　　　　　　　　　　 Q(x,y)の中身が ¬P(x,y) であっても、このことは成り立つので、¬ P(a,b) と (a,b)∈ { (x,y)∈X×Y | ¬P(x,y) }　は互いに言い換えてよい。

　　　　　　　　表現3と表現4 :¬P(x,y)の真理集合より、{ (x,y)∈X×Y | ¬P(x,y) } ＝  { (x,y)∈X×Y | P(x,y) } ^c だから、 (a,b)∈ { (x,y)∈X×Y | ¬P(x,y) } と (a,b)∈ { (x,y)∈X×Y | P(x,y) } ^c とは互いに言い換えてよい。
　　

	[文献]　見当たらない。

　・「『関係・条件Pかつ関係・条件Q』の真理集合」は、
　　「『関係・条件Pの真理集合』と『関係・条件Qの真理集合』の共通部分」に一致。

　・記号で表すと、

　　{ (x,y)∈X×Y | P(x,y) かつ Q(x,y) } ＝  { (x,y)∈X×Y | P(x,y) } ∩ { (x,y)∈X×Y | Q(x,y) }   

　※なぜ？

　　　　・便宜上、　A＝{ (x,y)∈X×Y | P(x,y) } 、　B＝{ (x,y)∈X×Y | Q(x,y) }　とおく。

　　　　・ P(x',y') と (x',y') ∈A＝ { (x,y)∈X×Y | P(x,y) } とは、互いに言い換えてよく（∵）、　
　　　　　Q(x',y') と (x',y')∈B＝ { (x,y)∈X×Y | Q(x,y) } とは、互いに言い換えてよいから（∵）、　
　　　　　{ (x',y')∈X×Y | P(x',y') かつ Q(x',y') }  ＝ { (x',y')∈X×Y | (x',y')∈A かつ (x',y')∈B } 

　　　　・∩の定義より、{ (x',y')∈X×Y | (x',y')∈A かつ (x',y')∈B }  ＝ A∩B 。

　　　　・以上から、{ (x,y)∈X×Y | P(x,y) } ∩ { (x,y)∈X×Y | Q(x,y) } ＝ A∩B ＝ { (x',y')∈X×Y | (x',y')∈A かつ (x',y')∈B } ＝ { (x,y)∈X×Y | P(x,y) かつ Q(x,y) }　

	[文献]  見当たらない。

　以下の4表現は、同一のことがらを表すので、互いに言い換えてよい。

　　　【表現1】

　　　　　aとbは、関係・条件Pを満たし、かつ、関係・条件Qも満たす。

　　　　　すなわち、

　　　　　P(a,b) かつ Q(a,b)　　（ただし、P(a,b)は、命題関数P(x,y)に(a,b)を代入してつくった命題、　Q(a,b)は、命題関数Q(x,y)に(a,b)を代入してつくった命題）

　　　【表現2】

　　　　　(a,b)は 「『関係・条件Pかつ関係・条件Q』の真理集合」に属す。
　　　　　　すなわち、(a,b) ∈ { (x,y)∈X×Y | P(x,y) かつ Q(x,y) } 

　　　【表現3】

　　　　　(a,b)は 「『関係・条件Pの真理集合』と『関係・条件Qの真理集合』の共通部分」に属す。
　　　　　すなわち、(a,b)∈ ( { (x,y)∈X×Y | P(x,y) } ∩ { (x,y)∈X×Y | Q(x,y) } )　　　　　　

　　　【表現4】

　　　　　(a,b)は、『関係・条件Pの真理集合』に属し、かつ、『関係・条件Qの真理集合』にも属す。
　　　　　すなわち、(a,b)∈ { (x,y)∈X×Y | P(x,y) }　かつ　(a,b)∈  { (x,y)∈X×Y | Q(x,y) }　

　　　※なぜ？

　　　　・表現1と表現2：「P(a,b) かつ Q(a,b)」と「(a,b) ∈ { (x,y)∈X×Y | P(x,y) かつ Q(x,y) } 」は互いに言い換えてよい。 （∵）

　　　　・表現2と表現3：関係・条件Pかつ関係・条件Qの真理集合より、 { (x,y)∈X×Y | P(x,y) かつ Q(x,y) } ＝ { (x,y)∈X×Y | P(x,y) } ∩ { (x,y)∈X×Y | Q(x,y) } だから、
　　　　　　　　　　　　　「(a,b) ∈ { (x,y)∈X×Y | P(x,y) かつ Q(x,y) } 」 と 「(a,b)∈ ( { (x,y)∈X×Y | P(x,y) } ∩ { (x,y)∈X×Y | Q(x,y) } ) 」とは互いに言い換えてよい。

　　　　・表現１と表現4 : P(a,b) と (a,b)∈ { (x,y)∈X×Y | P(x,y) } 、 Q(a,b) と (a,b)∈  { (x,y)∈X×Y | Q(x,y) }　は、互いに言い換えてよい（∵）。　

	[文献]  見当たらない。

　・「『関係・条件P または 関係・条件Q』の真理集合」は、

　　　「『関係・条件Pの真理集合』と『関係・条件Qの真理集合』の合併」に一致。


　・記号で表すと、

　　{ (x,y)∈X×Y | P(x,y) または Q(x,y) } ＝  { (x,y)∈X×Y | P(x,y) } ∪ { (x,y)∈X×Y | Q(x,y) }   


　※なぜ？　

　　・便宜上、　A＝ { (x,y)∈X×Y | P(x,y) } 、　B＝ { (x,y)∈X×Y | Q(x,y) } とおく。

　　・ P(x',y') と (x',y') ∈A＝ { (x,y)∈X×Y | P(x,y) } とは、互いに言い換えてよく（∵）、　
　　　Q(x',y') と (x',y')∈B＝ { (x,y)∈X×Y | Q(x,y) } とは、互いに言い換えてよいから（∵）、　

　　　{ (x',y')∈X×Y | P(x',y') または Q(x',y') }  ＝ { (x',y')∈X×Y | (x',y')∈A または (x',y')∈B } 

　　・∪の定義から、
　　　　{ (x',y')∈X×Y | (x',y')∈A または (x',y')∈B }  ＝  A∪B 。　　　　　

　　・以上から、　　
　　　　　{ (x,y)∈X×Y | P(x,y) または Q(x,y) } ＝ { (x',y')∈X×Y | (x',y')∈A または (x',y')∈B }    ＝ A∪B ＝ { (x,y)∈X×Y | P(x,y) } ∪ { (x,y)∈X×Y | Q(x,y) }    　

	[文献]　見当たらず。

　以下の4表現は、同一のことがらを表すので、互いに言い換えてよい。

　【表現1】

　　aとbは、関係・条件Pを満すか、または、関係・条件Qを満たす。
　　すなわち、P(a,b) または Q(a,b)　　（ただし、P(a,b)は、命題関数P(x,y)に(a,b)を代入してつくった命題、　Q(a,b)は、命題関数Q(x,y)に(a,b)を代入してつくった命題）

　【表現2】

　　(a,b)は 「『関係・条件Pまたは関係・条件Q』の真理集合」に属す。
　　　すなわち、(a,b) ∈ { (x,y)∈X×Y | P(x,y) または Q(x,y) } 

　【表現3】

　　(a,b)は 「『関係・条件Pの真理集合』と『関係・条件Qの真理集合』の合併」に属す。
　　すなわち、(a,b)∈ ( { (x,y)∈X×Y | P(x,y) } ∪ { (x,y)∈X×Y | Q(x,y) } )　　　　　　
　　　　

　【表現4】

　　(a,b)は、『関係・条件Pの真理集合』に属すか、または、『関係・条件Qの真理集合』に属す。

　　すなわち、
　　　　　　(a,b)∈ { (x,y)∈X×Y | P(x,y) }　または　a∈ { (x,y)∈X×Y | Q(x,y) }　　　　　　

　※なぜ？

　　・表現1と表現2：「P(a,b) または Q(a,b)」と「(a,b) ∈ { (x,y)∈X×Y | P(x,y) または Q(x,y) } 」は互いに言い換えてよい。 （∵）

　　・表現2と表現3：関係・条件Pまたは関係・条件Qの真理集合より、 { (x,y)∈X×Y | P(x,y) または Q(x,y) } ＝ { (x,y)∈X×Y | P(x,y) } ∪ { (x,y)∈X×Y | Q(x,y) } だから、
　　　　　　　　　　　　　「(a,b) ∈ { (x,y)∈X×Y | P(x,y) または Q(x,y) } 」 と 「(a,b)∈ ( { (x,y)∈X×Y | P(x,y) } ∪ { (x,y)∈X×Y | Q(x,y) } ) 」とは互いに言い換えてよい。

　　・表現１と表現4 : P(a,b) と (a,b)∈ { (x,y)∈X×Y | P(x,y) } 、 Q(a,b) と (a,b)∈  { (x,y)∈X×Y | Q(x,y) }　は、互いに言い換えてよい（∵）。　

	[文献] 　見当たらず。

　【言葉で】

　　変項xの議論領域をX, 変項yの議論領域をYとする二項述語・２変数命題関数
　　　　「x,yが関係・条件Pを満たすならば、x,yは関係・条件Qを満たす」
　　の真理集合は、　　
　　
　　「『普遍集合X×Yにおける《関係・条件Pの真理集合》の補集合』と『関係・条件Qの真理集合』との合併」
　　に一致。


　【記号で】
　
　　{ (x,y)∈X×Y | P(x,y) ⇒ Q(x,y) } ＝  { (x,y)∈X×Y | ¬ P(x,y) または Q(x,y) }  ＝ { (x,y)∈X×Y | ¬ P(x,y) } ∪ { (x,y)∈X×Y | Q(x,y) } ＝ { (x,y)∈X×Y | P(x,y) }^c ∪ { (x,y)∈X×Y | Q(x,y) }   
　

	[文献]

　【言葉で】

　


　【記号で】