→[交わる]冒頭 →[部分集合]冒頭 →集合の基本概念−定義と記号一覧 →集合論目次 |
【表現1】 | ・「A∩B ≠ φ」かつ「AB」 |
集合Aは、集合Bと交わっているけれど、Bを含むわけではない。 |
ないし | ||
・「B∩A ≠ φ」かつ「BA」 | 集合Bは、集合Aと交わるが、Aの部分集合でない。 | |
【表現2】 | ・「AB」かつ「 ABc 」 |
集合Aは、集合Bを部分集合として含まないし、《Bの補集合》に部分集合として含まれるのでもない。 |
ないし | ||
・「BA」かつ「BAc 」 | 集合Bは、Aの部分集合でも、《Aの補集合》の部分集合でもない。 | |
【表現3】 | 「∃ω∈B ω∈A」かつ「¬ ∀ω∈B ( ω∈ A )」 | 集合Bには《集合Aに属す元》が存在するが、「すべての《集合Bに属す元》が、集合Aに属す」のではない。 |
【表現4】 | 「B∩A ≠ φ」かつ「B∩Ac ≠ φ」 | 集合Bは、集合Aとも《Aの補集合》とも交わる。 |
【表現5】 | 「∃ω∈B ω∈A」かつ「∃ω∈B (ω A )」 | Aに属す「Bの元」も、Aに属さない「Bの元」も存在する。 |
【表現5'】 | 「∃ω∈B ω∈A」かつ「∃ω∈B (ω∈Ac )」 | Aに属す「Bの元」も、《Aの補集合》に属す「Bの元」も存在する。 |
【表現6】 | 「A≠φ かつ AB かつ A⊂B」 または 「A∩B ≠ φ かつ AB かつ AB」 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
【どうして?】 交わるの同義表現(3-1') : 「B∩A ≠ φ」⇔「∃ω∈B ω∈A」
、 「AB」「BA」の同値表現1l:「AB」「BA」⇔「¬ ∀ω∈B ( ω∈ A )」 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
⇔ 【どうして?】 |
|
⇔ 【どうして?】 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
「AB」「BA」の同値表現4:「AB」「BA」⇔「Ac∩B ≠ φ」 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
【どうして?】 交わるの同義表現:「B∩A≠φ」⇔「∃ω∈Bω∈A」 、「AB」「BA」の同値表現「 | AB」「BA」⇔「∃ω∈Bω A」から。 | 交わるの同値表現(8)(8'):「A∩B ≠ φ」⇔「 ABc 」「 Ac B 」 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
【どうして?】 「補集合に属す」の
同値条件にしたがっ
て、ωAとω∈Ac
とを、互いに言い換えてよいから、 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
どうして、
|
【表現1】 「A∩B ≠ φ」かつ「AB」 | ||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
排中律[野矢p.175;前原p.56;新井p.76]より、 『A⊂BまたはAB』は常に成立するので、 『かつ』の導入則にしたがって、 【表現1】が成立するとき、【表現6-3】を導いてよい。 |
|||
《かつ》《または》の分配律にしたがって。 | |||
・「A⊂B」⇔「A∩B=A」だから、 「A∩B ≠ φ かつ A⊂B」が成り立つとき、「A∩B=A≠φ」が成り立つ。 ・だから、「『かつ』の導入則」にしたがって、【表現6-2】(a)が成立するとき、【表現6-1】(a)を導いてよい。 |
|||
「かつ」の除去則に従って、 【表現6-1】(a)「A∩B ≠ φ かつ AB かつ A⊂B かつ A≠φ」から 【表現6】 (a)「A≠φ かつ AB かつ A⊂B」 を導いてよいから。 |
|||
どうして、
|
||||||||||||||||||||||
|
【どうして?】 ⇒ |
「A⊂B」⇔「A∩B=A」だから、 「 A≠φ かつ A⊂B 」ならば、「A∩B=A≠φ」
|
|
|||||||||||||||||||
|
⇒ 【どうして?】 |
|||||||||||||||||||||
一般に、 「命題A⇒命題C」かつ「命題B⇒命題C」は、「『命題Aまたは命題B』⇒命題C」 に言い換えてよいから(→含意の言換3)、 上記は下記に言い換えてよい。 |
||||||||||||||||||||||
|
⇒ |
|
→[交わる]冒頭 →[部分集合]冒頭 →集合の基本概念−定義と記号一覧 →集合論目次 |