定理:単調増加関数の左極限の存在の十分条件−数列の収束の観点から。
以下の命題Q1,Q2が成り立つ
ならば
、命題Pも成り立つ。
すなわち、命題Q1
かつ
命題Q2
⇒
命題P
命題Q1:
f(x)
は、少なくとも開区間
(
a
,
x
0
)
で
狭義単調増加関数
。
命題Q2:
以下の3点をすべて満たす
数列
{
x
n
}={
x
1
,
x
2
,
x
3
,…}が
少なくとも一つ存在する
。
Q2-1
任意の
n
∈
N
について
a
<
x
n
<
x
0
すなわち、
∀
n
∈
N
(
x
n
∈
(
a
,
x
0
)
)
つまり、すべての項は命題Q1が指定する
f(x)
の
狭義単調増加
区間内にある、
Q2-2
x
n
→
x
0
(
n
→
∞) ※
x
0
は
数列
{
x
n
}の第0項という意味ではないので注意
つまり、
極限
より小なる区間は
f
(
x
)の
狭義単調増加
区間(→命題Q1)内にあらねばならないが、
極限とそれより大なる区間は、
f
(
x
)の
狭義単調増加
区間内になくてもよい
Q2-3
f
(
x
n
)
→
A (
n
→∞
)
つまり、
数列
{
f
(
x
n
)
}={
f
(
x
1
)
,
f
(
x
2
)
,
f
(
x
3
)
,…}が
A
に
収束する
命題P:
x
0
における
f
(
x
)
の
左極限
は
A
。
すなわち、
f(x)
→
A
(
x
→
x
0
−0
)
あるいは、
lim
f(x)
=
A
x
→
x
0
−0
cf.
普通の極限/
右極限
の場合、
※
利用例:
単調増加関数の左連続性と数列の収束
、
【文献】
・杉浦ほか『
解析演習
』第1章[例題]§2例題2.2(
p
.33).
→[
《関数の左極限》と《数列の極限》の関係一覧
]
→[
トピック一覧:1変数関数の収束・極限値
]
→
総目次
[証明:命題Q1かつ命題Q2
⇒
命題P]
(仮定の確認)
命題Q1 :
f(x)
は、少なくとも開区間
(
a, x
0
)
で
狭義単調増加関数
。
⇔
∀
x
k
,x
l
∈
(
a, x
0
)
(
x
k
<
x
l
⇒
f
(
x
k
) <
f
(
x
l
) )
命題Q2-1:
∀
n
∈
N
(
a
<
x
n
<
x
0
) ないし、
∀
n
∈
N
x
n
∈
(
a, x
0
)
命題Q2-2:
x
n
→
x
0
(
n
→
∞
)
⇔
∀
ε
1
>0
∃
N
1
∈
N
∀
n
∈
N
(
n
≧N
1
⇒
x
n
∈
(
x
0
−ε
1
,
x
0
+ε
1
)
)
∵
数列の収束の定義
ところが、命題Q2-1:
∀
n
∈
N
x
n
∈
(
a, x
0
)
より、つねに
x
n
<
x
0
だから、
∀
ε
1
>0
∃
N
1
∈
N
∀
n
∈
N
(
n
≧N
1
⇒
x
n
∈
(
x
0
−ε
1
,
x
0
)
)
命題Q2-3:
f
(
x
n
)
→
A (
n
→
∞
)
⇔
(
∀
ε
2
>0)(
∃
N
2
∈
N
)(
∀
n
∈
N
)(
n
≧N
2
⇒
f
(
x
n
)
∈
(
A−ε
2
, A+ε
2
)
)
∵
数列の収束の定義
(結論の確認)
命題
P :
f
(
x
)
→
A (
x
→
x
0
−
0
)
⇔
(
∀
ε>
0 ) (
∃
δ>
0 ) (
∀
x
∈
(
x
0
−δ
,
x
0
)
) (
f
(
x
)
∈
(
A
−ε
,A
+ε
)
)
∵
左極限
の定義
(設定1)
任意の正数を一つ選び、これをε'とする。
(設定2)
設定1で選んだε'に対して、命題Q2-3で存在が保証されている
(
∀
n
∈
N
)(
n
≧ N
2
⇒
f
(
x
n
)
∈
(
A−ε', A+ε'
)
)を成立させるN
2
を、N'とおく。
これは、噛み砕いて言えば、
数列{
f
(
x
n
)}は、添え数N'番以降の項{
f
(
x
N'
),
f
(
x
N'+1
),
f
(
x
N'+2
),…}はすべて、
開区間
(
A−ε', A+ε'
)
に入ってしまう、
ということだが、
別の角度からいえば、それ以降の全ての項が開区間
(
A−ε', A+ε'
)
にすっぽり入るようになる、最初の項が、N'番の項だということでもある。
(例)下図は、数列{
f
(
x
n
)}
は、
f
(
x
5
)
以降の全ての項が全て開区間
(
A−ε', A+ε'
)
に入ってしまう例。
この場合は、N'=5となる。
なお、N'=3ではないことに注意。
数列
{
f
(
x
n
)}
は、
f
(
x
3
)
ではじめて開区間
(
A−ε', A+ε'
)
に入るが、
後続の
f
(
x
4
)
は開区間
(
A−ε', A+ε'
)
の外に出ている。
(設定3)
設定1で選んだε' にたいして、設定2でN'を決めたが、
さらに、このN'に対して、
0<δ<
x
0
−
x
N'
…
(
設定
3-
式
1)
を満たすようにδを決める。
このδは、
x
N'
<
x
0
−δ
<
x
0
…
(
設定
3-
式
2)
を成立させる(∵移項しただけ)。
(例)上図のケースでは、
x
N'
=
x
5
であるから、
0<
δ
<
x
0
−
x
5
を満たすようにδを決める。
こうすると、もちろん、
x
5
<
x
0
−δ
<
x
0
となる。
(概要)
設定3で決めたδが、
設定1で決めた
任意の
ε'>0に対して、
(
∀
x
∈
(
x
0
−δ
,
x
0
)
) (
f
(
x
)
∈
(
A
−ε
',A
+ε
'
)
)
を成立させることを示すことで、
任意の
ε
'
>
0
に対して、
(
∀
x
∈
(
x
0
−δ
,
x
0
)
) (
f
(
x
)
∈
(
A
−ε
',A
+ε
'
)
)
を成立させるδ
>0
は確かに存在する、
すなわち、命題
Q1-Q2
下で、命題
P
:
(
∀
ε>
0 ) (
∃
δ>
0 ) (
∀
x
∈
(
x
0
−δ
,
x
0
)
) (
f
(
x
)
∈
(
A
−ε
,A
+ε
)
)
が成立することを示す。
(本題)
Step
1:
δは、
(
∀
x
∈
(
x
0
−δ
,
x
0
)
) ( A
−ε
'<
f
(
x
) )
を成立させる
設定
3
で決めたδは、
x
N'
<
x
0
−δ
<
x
0
を成立させる(∵設定
3-
式
2
)。
だから、
∀
x
∈
(
x
0
−δ
,
x
0
)
に対して、
x
N'
<
x
0
−δ
<
x
<
x
0
が成り立つ。
つまり、
∀
x
∈
(
x
0
−δ
,
x
0
)
に対して、
x
N'
<
x
が成り立つ。
これと、命題
Q1
:
f(x)
は
(
a, x
0
)
で
狭義単調増加関数
より、
∀
x
∈
(
x
0
−δ
,
x
0
)
に対して、
f
(
x
N'
) <
f
(
x
)
…
(1-1)
が成立する。
※
x
N'
、
∀
x
∈
(
x
0
−δ
,
x
0
)
が、
f(x)
の
狭義単調増加
区間
(
a, x
0
)
のなかにあることを詳しく確認すると、
・命題
Q2-1
より
x
N'
∈
(
a, x
0
)
。
・
x
N'
<
x
0
−δ
<
x
0
(∵設定
3-
式
2
)より、
∀
x
∈
(
x
0
−δ
,
x
0
)
は、
x
N'
<
x
<
x
0
を満たすから、
∀
x
∈
(
x
0
−δ
,
x
0
)
も、
x
∈
(
a, x
0
)
。
設定
2
より、
f
(
x
N'
)
∈
(
A
−ε
', A
+ε
'
)
…
(1-2)
(1-1)
と
(1-2)
を合せると、
∀
x
∈
(
x
0
−δ
,
x
0
)
に対して、
A
−ε
'<
f
(
x
N'
) <
f
(
x
)
ここで重要な情報だけを残すと、
∀
x
∈
(
x
0
−δ
,
x
0
)
に対して、
A
−ε
'<
f
(
x
)
以上、設定
1
で決めたε
'
に対して、設定
3
で決めたδは、
∀
x
∈
(
x
0
−δ
,
x
0
)
に対して、
A
−ε
'<
f
(
x
)
を成立せしめることを見た。
Step
2:
δは、
(
∀
x
∈
(
x
0
−δ
,
x
0
)
) (
f
(
x
) <A+
ε
')
を成立させる
∀
x
∈
(
x
0
−δ
,
x
0
)
に対して、
x
<
x
N**
を満たし、
かつ、設定
2
で決めた
N'
に対して、
N'<N**
を満たす
数列
{
x
n
}の項
x
N**
が存在する。
…
(2-1)
なぜなら、
∀
x
∈
(
x
0
−δ
,
x
0
)
に対して、つねに
x
0
−
x >
0
だから、
命題
2-2
の任意のε
1
を
x
0
−
x
としても命題
2-2
は成立する。
よって、
(
∃
N*
∈
N
)(
∀
n
∈
N
)(
n
≧
N*
⇒
x
n
∈
(
x
0
−
(
x
0
−
x
),
x
0
)
)
つまり、
(
∃
N*
∈
N
)(
∀
n
∈
N
)(
n
≧
N*
⇒
x
n
∈
(
x
,
x
0
)
)
したがって、ここで保証された添数
N*
番以降の項{
x
N*
,
x
N*+1
,
x
N*+2
,
…}はすべて、
∀
x
∈
(
x
0
−δ
,
x
0
)
に対して、
x
より大きい。
また、ここで保証された添数
N*
番以降の項は、可算無限個あるのだから、
可算無限個の添数
N*
番以降の項のなかに、添数
N'
番以降の項は必ずある。
(添数
N*
番以降の項は、可算無限個。
N*
番以降だが
N'
番以前の項はあっても有限個。
だから、添数
N*
番以降かつ
N'
番以降の項は、無限個マイナス有限個で、無限個なければならない)
(2-1)
と、命題
Q1
:
f(x)
は
(
a, x
0
)
で
狭義単調増加関数
より、
∀
x
∈
(
x
0
−δ
,
x
0
)
に対して、
f
(
x
) <
f
(
x
N**
)
…
(2-2)
が成立する。
※
x
N**
、
∀
x
∈
(
x
0
−δ
,
x
0
)
が、
f(x)
の
狭義単調増加
区間
(
a, x
0
)
のなかにあることを詳しく確認すると、
・命題
Q2-1
より
x
N**
∈
(
a, x
0
)
。
・
x
N'
<
x
0
−δ(∵設定
3-
式
2
)より、
∀
x
∈
(
x
0
−δ
,
x
0
)
は、
x
N'
<
x
<
x
0
を満たすから、
∀
x
∈
(
x
0
−δ
,
x
0
)
も、
x
∈
(
a, x
0
)
。
(2-1)
と設定
2
より、
f
(
x
N**
)
∈
(
A
−ε
', A
+ε
'
)
…
(2-3)
(2-2)
と
(2-3)
を合せると、
∀
x
∈
(
x
0
−δ
,
x
0
)
に対して、
f
(
x
) <
f
(
x
N**
) < A
+ε
'
ここで重要な情報だけを残すと、
∀
x
∈
(
x
0
−δ
,
x
0
)
に対して、
f
(
x
) < A
+ε
'
以上、設定
1
で決めたε
'
に対して、設定
3
で決めたδは、
∀
x
∈
(
x
0
−δ
,
x
0
)
に対して、
f
(
x
) < A
+ε
'
を成立せしめることを見た。
Step3
step1,2の結果を合わせると、設定1で決めたε' に対して、設定3で決めたδは、
∀
x
∈
(
x
0
−δ
,
x
0
)
に対して、
A
−ε
'<
f
(
x
) < A
+ε
'
を成立せしめることになる。
設定
1
で決めたε
'
は、
任意の
正数であった。
したがって、
任意の
ε
'>0
に対して、
「
∀
x
∈
(
x
0
−δ
,
x
0
)
に対して、
A
−ε
'<
f
(
x
) < A
+ε
'
を成立せしめる」δが存在し、
そのδは、設定
3
で決めたものであることが示された。
すなわち、
命題
P :
(
∀
ε>
0 ) (
∃
δ>
0 ) (
∀
x
∈
(
x
0
−δ
,
x
0
)
) (
f
(
x
)
∈
(
A
−ε
,A
+ε
)
)
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《関数の左極限》と《数列の極限》の関係一覧
]
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トピック一覧:1変数関数の収束・極限値
]
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