定理：単調増加関数の左極限の存在の十分条件−数列の収束の観点から。

以下の命題Q1,Q2が成り立つならば、命題Pも成り立つ。
すなわち、命題Q1かつ命題Q2⇒命題P　　

命題Q1：　f(x)は、少なくとも開区間(a, x0)で狭義単調増加関数。
命題Q2：　以下の3点をすべて満たす数列{ xn }={  x1 , x2, x3,…}が少なくとも一つ存在する。
　　Q2-1 任意のn∈N についてa＜xn＜x0　　すなわち、∀n∈N ( xn∈(a, x0) )　
　　　　　　　　つまり、すべての項は命題Q1が指定するf(x)の狭義単調増加区間内にある、
　　Q2-2 xn→x0 　(n→∞)　　※x0は数列 { xn }の第0項という意味ではないので注意
　　　　　　　　つまり、極限より小なる区間はf(x)の狭義単調増加区間(→命題Q1)内にあらねばならないが、
　　　　　　　　　　　　極限とそれより大なる区間は、f(x)の狭義単調増加区間内になくてもよい
 　　Q2-3 f ( xn )→A　(n→∞)　　
　　　　　　　　つまり、数列 { f ( xn ) }={ f ( x1 ) , f ( x2 ), f ( x3 ),…}がAに収束する　　
命題P：　x0におけるf (x)の左極限はA。
　　　　　すなわち、f(x)→A (x→x0−0)

　　　　　あるいは、

　lim　f(x)　＝ A

x→x0−0

cf. 普通の極限/右極限の場合、
※利用例：単調増加関数の左連続性と数列の収束、
　　
【文献】
　・杉浦ほか『解析演習』第1章[例題]§2例題2.2（p.33）.　

→[《関数の左極限》と《数列の極限》の関係一覧]
→[トピック一覧：1変数関数の収束・極限値]　
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[証明:命題Q1かつ命題Q2⇒命題P]

（仮定の確認）

命題Q1 　：f(x)は、少なくとも開区間(a, x0)で狭義単調増加関数。
　　　　　　　　　　⇔　∀xk ,xl ∈(a, x0)  ( xk < xl ⇒f (xk) < f (xl) )　
命題Q2-1：∀n∈N ( a＜xn＜x0)　ないし、∀n∈N 　xn∈(a, x0)　　
命題Q2-2：xn→x0 　(n→∞)　⇔　 ∀ε1>0　 ∃N1∈N ∀n∈N （ n≧N1 ⇒　xn ∈ ( x0−ε1, x0＋ε1 )　)
　　　　　　　　　　　　　　　　∵数列の収束の定義　
　　　　　　　　　　ところが、命題Q2-1: ∀n∈N 　xn∈(a, x0)　より、つねにxn＜x0　だから、
　　　　　　　　　　 ∀ε1>0　 ∃N1∈N ∀n∈N ( n≧N1 ⇒　　xn ∈ ( x0−ε1 , x0 )　)　　
命題Q2-3：f (xn)→A　(n→∞)　⇔　 (∀ε2 >0)(∃N2∈N)(∀n∈N)( n≧N2 ⇒f (xn)∈ ( A−ε2 , A＋ε2 )　)　
　　　　　　　　　　　　　　　　∵数列の収束の定義　
　　　　　　

（結論の確認）

命題P : f(x)→A (x→x0−0)　　⇔　　( ∀ε＞0 ) ( ∃δ＞0 ) ( ∀x∈ ( x0 −δ, x0) ) (　f(x) ∈ ( A−ε,A＋ε)　)　
　　　　　　　　　　　　　　　　　∵左極限の定義　　

（設定1）

任意の正数を一つ選び、これをε'とする。

（設定2）

設定1で選んだε'に対して、命題Q2-3で存在が保証されている
　　　　　(∀n∈N)( n≧ N2⇒ f (xn)∈ ( A−ε', A＋ε') )を成立させるN2
を、N'とおく。
これは、噛み砕いて言えば、
数列{f (xn)}は、添え数N'番以降の項{ f (xN'), f (xN'+1), f (xN'+2),…}はすべて、
開区間( A−ε', A＋ε')に入ってしまう、
ということだが、
別の角度からいえば、それ以降の全ての項が開区間( A−ε', A＋ε')にすっぽり入るようになる、最初の項が、N'番の項だということでもある。　
　　（例）下図は、数列{f (xn)}は、f (x5)以降の全ての項が全て開区間( A−ε', A＋ε')に入ってしまう例。
　　　　　この場合は、N'=5となる。
　　　　　なお、N'=3ではないことに注意。
　　　　　数列{f (xn)}は、f (x3)ではじめて開区間( A−ε', A＋ε')に入るが、
　　　　　後続のf (x4)は開区間( A−ε', A＋ε')の外に出ている。
　　　　　　
　　　　　　単調増加関数の左極限の存在の十分条件　　

（設定3）

設定1で選んだε' にたいして、設定2でN'を決めたが、
さらに、このN'に対して、
　　　　0<δ< x0−xN'　　　　…(設定3-式1)
を満たすようにδを決める。
このδは、
　　　　xN'< x0−δ< x0　　　　…(設定3-式2)
を成立させる（∵移項しただけ）。
　　　（例）上図のケースでは、xN'=x5であるから、
　　　　　　0<δ< x0−x5　　を満たすようにδを決める。
　　　　　　こうすると、もちろん、x5< x0−δ< x0　となる。　
　　　　　　単調増加関数の左極限の存在の十分条件　　　　　　　

（概要）

設定3で決めたδが、
設定1で決めた任意のε'＞0に対して、( ∀x∈ ( x0 −δ, x0) ) (　f(x) ∈ ( A−ε',A＋ε')　)　を成立させることを示すことで、
任意のε'＞0に対して、( ∀x∈ ( x0 −δ, x0) ) (　f(x) ∈ ( A−ε',A＋ε')　)　を成立させるδ>0は確かに存在する、
すなわち、命題Q1-Q2下で、命題P：( ∀ε＞0 ) ( ∃δ＞0 ) ( ∀x∈ ( x0 −δ, x0) ) (　f(x) ∈ ( A−ε,A＋ε)　)　
が成立することを示す。

（本題）

Step1:δは、( ∀x∈( x0 −δ, x0) ) ( A−ε'<f(x) )を成立させる　
設定3で決めたδは、xN'< x0−δ< x0を成立させる（∵設定3-式2）。　　　
だから、　∀x∈( x0 −δ, x0)　に対して、xN'< x0−δ<x< x0　が成り立つ。
つまり、∀x∈( x0 −δ, x0)　に対して、xN' <x　が成り立つ。　
　これと、命題Q1：f(x)は (a, x0)で狭義単調増加関数より、
　∀x∈( x0 −δ, x0)　に対して、　　f (xN') < f (x) 　　…(1-1)
　が成立する。
　　　※xN' 、∀x∈( x0 −δ, x0)が、f(x)の狭義単調増加区間(a, x0)のなかにあることを詳しく確認すると、
　　　　・命題Q2-1よりxN'∈(a, x0)。
　　　　・xN'< x0−δ< x0（∵設定3-式2）より、∀x∈( x0 −δ, x0)は、xN'< x< x0を満たすから、
　　　　　∀x∈( x0 −δ, x0)も、x ∈(a, x0)。　
　設定2より、f (x N')∈ ( A−ε', A＋ε')　　　　　　　…(1-2)　
(1-1)と(1-2)を合せると、　∀x∈( x0 −δ, x0)　に対して、A−ε'< f (x N') < f (x)　
ここで重要な情報だけを残すと、　∀x∈( x0 −δ, x0)　に対して、A−ε'< f (x)　
以上、設定1で決めたε' に対して、設定3で決めたδは、
　∀x∈( x0 −δ, x0)　に対して、A−ε'< f (x)
を成立せしめることを見た。
Step2: δは、( ∀x∈( x0 −δ, x0) ) (f(x) <A+ε')を成立させる　
∀x∈( x0 −δ, x0)　に対して、x < xN**　を満たし、
かつ、設定2で決めたN'に対して、N'<N**を満たす
数列{ xn }の項xN**が存在する。　　　　　　　　　　…(2-1)
　なぜなら、∀x∈( x0 −δ, x0)　に対して、つねにx0 −x > 0だから、　
　　　命題2-2の任意のε1をx0 −xとしても命題2-2は成立する。
　　　よって、 (∃ N*∈N)(∀n∈N)( n≧N*⇒ xn ∈ ( x0−(x0−x), x0 )　)　　
　　　つまり、 (∃ N*∈N)(∀n∈N)( n≧N*⇒ xn ∈ ( x, x0 )　)　
　　　したがって、ここで保証された添数N*番以降の項{ xN*, xN*+1, xN*+2,…}はすべて、
　　　∀x∈( x0 −δ, x0)　に対して、x より大きい。
　　　また、ここで保証された添数N*番以降の項は、可算無限個あるのだから、
　　　可算無限個の添数N*番以降の項のなかに、添数N'番以降の項は必ずある。
　　　（添数N*番以降の項は、可算無限個。N*番以降だがN'番以前の項はあっても有限個。
　　　　だから、添数N*番以降かつN'番以降の項は、無限個マイナス有限個で、無限個なければならない）　
(2-1) と、命題Q1：f(x)は (a, x0)で狭義単調増加関数より、
　∀x∈( x0 −δ, x0)　に対して、　　f (x) < f (xN**) 　　…(2-2)
　が成立する。
　　　※xN** 、∀x∈( x0 −δ, x0)が、f(x)の狭義単調増加区間(a, x0)のなかにあることを詳しく確認すると、
　　　　・命題Q2-1よりxN**∈(a, x0)。
　　　　・xN'< x0−δ（∵設定3-式2）より、∀x∈( x0 −δ, x0)は、xN'< x< x0を満たすから、
　　　　　∀x∈( x0 −δ, x0)も、x ∈(a, x0)。　
(2-1)と設定2より、f (xN**) ∈ ( A−ε', A＋ε')…(2-3)　　　　
(2-2)と(2-3)を合せると、∀x∈( x0 −δ, x0)　に対して、　f (x) < f (xN**) < A＋ε'　　　　
ここで重要な情報だけを残すと、∀x∈( x0 −δ, x0)　に対して、　f (x) < A＋ε'　　　　　
以上、設定1で決めたε' に対して、設定3で決めたδは、
　∀x∈( x0 −δ, x0)　に対して、f (x) < A＋ε'
を成立せしめることを見た。
Step3
step1,2の結果を合わせると、設定1で決めたε' に対して、設定3で決めたδは、
　　　∀x∈( x0 −δ, x0)　に対して、A−ε'<f (x) < A＋ε'
を成立せしめることになる。
設定1で決めたε'は、任意の正数であった。
したがって、任意のε'>0に対して、
「∀x∈( x0 −δ, x0)　に対して、A−ε'<f (x) < A＋ε'を成立せしめる」δが存在し、
そのδは、設定3で決めたものであることが示された。
すなわち、
命題P :　　( ∀ε＞0 ) ( ∃δ＞0 ) ( ∀x∈ ( x0 −δ, x0) ) (　f(x) ∈ ( A−ε,A＋ε)　)　
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