テイラーの定理 (本格版)
f (x)を区間Iでn階微分可能な関数とする。 a∈Iを定点、x∈I を任意の点とするとき、
以下の式を満たす点cがxとaの間に存在する (つまり c = a +θ( x−a ), 0＜θ＜1 )。
f(x)=f(a)+f ' (a) (x−a) /(1! )＋ f '' (a) (x−a)2/(2! )＋…＋f (n-1) (a) (x−a)n-1/(n-1)!＋Rn 
Rn= f (n) (c) (x−a)n /(n! )
証明 ： テイラーの定理 (本格版)
[参照：高木『解析概論』61. 小平『解析入門I』132. 高橋『経済学とファイナンスのための数学』62.]
仮定： ・f(x)は区間Iでn回微分可能な関数 …(1)
・a, x∈I …(2)
F(x) = Rn= f(x)−f(a)−f ' (a) (x−a) /(1! ) −f '' (a) (x−a)2/(2! ) −f ''' (a) (x−a)3/(3! )…−f (n-1) (a) (x−a)n-1/(n-1)!
と置く。
すると、
F(a)=F' (a) = F''(a)=…=F(n-1)(a)=０ …(3)
F(n)(x)= f (n) (x) …(4)
なぜなら、 F (x)を順次微分してゆくと、
dF (x)/dx = f ' (x)−｛ f ' (a) /(1! )｝｛(x−a)｝’−｛ f '' (a)/(2! )｝｛(x−a) 2｝’−｛ f ''' (a)/(3! )｝｛(x−a)3｝’…
…−｛ f (n-1) (a)/(n-1)!｝｛(x−a)n-1｝’
∵定数の微分、関数の和の微分、関数の定数倍の微分、
f(a)=f ' (a) =f '' (a) =…=f (n-1) (a) は定数なので注意。
= f ' (x)−｛ f ' (a) /(1! )｝−｛ f '' (a)/(2! )｝｛2(x−a)｝−｛ f ''' (a)/(3! )｝｛3(x−a)2｝…
…−｛ f (n-1) (a)/(n-1)!｝｛ (n-1) (x−a)n-2｝
∵合成関数の微分
= f ' (x)−f ' (a)−｛ f '' (a)/(1! )｝(x−a)−｛ f ''' (a)/(2! )｝(x−a)2…−｛ f (n-1) (a)/(n-2)!｝(x−a)n-2
d2F(x) /dx2 = f '' (x)−｛ f '' (a)/(1!)｝｛(x−a)｝’−｛ f ''' (a)/(2! )｝｛(x−a)2｝’…−｛ f (n-1) (a)/(n-2)!｝｛ (x−a)n-2｝’
∵定数の微分、関数の和の微分、関数の定数倍の微分、
f(a)=f ' (a) =f '' (a) =…=f (n-1) (a) は定数なので注意。
= f '' (x)−f '' (a)/(1!)−2f ''' (a)(x−a)/(2! )−3f '''' (a)(x−a)2/(3! )…−(n-2)f (n-1) (a)(x−a)n-3/(n-2)!
∵合成関数の微分
= f '' (x)−f '' (a)−f ''' (a)(x−a)/(1! )−f '''' (a)(x−a)2/(2! )…−f (n-1) (a)(x−a)n-3/(n-3)!
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dn-2F(x)/dxn-2=f (n-2) (x)−f (n-2) (a)−f (n-1) (a)(x−a)
dn-1F(x)/dxn-1=f (n-1) (x)−f (n-1) (a)
dnF(x)/dxn=f (n) (x)
※関数の和の高階導関数、ベキ関数の高階導関数などの公式を使うと、
もっとスッキリ展開できるはず。
G(x)=(x−a) n と置く。G(a)=０ …(5) x≠aで、G(x)≠0. …(6)
G(a)=G'(a)=G''(a)=…=G ( n-1 ) (a)=0 …(7)
なぜなら、
G'(x)= n(x−a) n−1 ∵合成関数の微分
G''(x)= n (n−1)(x−a) n−2 ∵合成関数の微分
G(3)(x)= n (n−1) (n−2) (x−a) n−3 ∵合成関数の微分
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G(n-1)(x)= n (n−1) (n−2) …(n−(n-1-1)) (x−a) n−(n-1)= n (n−1) (n−2) …2 (x−a)
G(n)(x)= n (n−1) (n−2) … (n−(n-1)) (x−a) n−n= n (n−1) (n−2) …・1・1=n! …(7')
(i) a＜xの場合
(step1)
F(x)/G(x) = (F(x)−F(a)) / (G(x)−G(a)) ∵(3)よりF(a)=０、(5)よりG(a)=０
(1) (2)より閉区間[a,x]で連続微分可能。(6)より開区間(a,x)でG(x)≠０。
したがって、コーシーの平均値定理を適用して、
F(x)/G(x) = (F(x)−F(a)) / (G(x)−G(a)) = F' ( c1 ) / G' ( c1 )
を満たすc1が、開区間 (a,x)に存在する。
(step2)
同様に、(3) (7)よりF' (a)=０、G' (a) =０、コーシーの平均値定理より、
F' ( c1 ) / G' ( c1 ) = ( F' (c1)−F' (a) ) / (G' (c1)−G' (a)) = F''( c2 ) / G''( c2 )
を満たすc2が、開区間 (a, c1)に存在する。
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(stepN)
同様に、(3) (7)よりF(n-1)(a) =０、G(n-1)(a) =０、コーシーの平均値定理より、
F(n-1)(cn-1)/G(n-1)(cn-1)= (F(n-1)(cn-1)−F(n-1)(a))/(G(n-1)(cn-1)−G(n-1)(a))=F(n)(cn)/G(n)(cn)
= f (n) ( cn )/n! （∵(4), (7')）
を満たすcnが、開区間 (a, cn−1 )に存在する。
つまり、
F(x)/G(x) =F' ( c1 ) / G' ( c1 ) = F''( c2 ) / G''( c2 )=…=F(n-1)(cn-1)/G(n-1)(cn-1)=F(n)(cn)/G(n)(cn)= f (n) ( cn )/n!
を満たすci (1≦i≦n、i∈N)が
a<cn <cn−1 <…<c2< c1<x
に存在する。
これを簡単にして、G(x)を(x−a) n に戻すと、
F(x)/(x−a) n＝f (n) ( cn )/n! すなわち、F(x) ＝f (n) ( cn )(x−a) n/n!
を満たすcnが開区間(a,x)に存在する。
との結論に至る。
(ii) x＜ aの場合
(step1)
F(x)/G(x) = (F(x)−F(a)) / (G(x)−G(a)) ∵(3)よりF(a)=０、(5)よりG(a)=０
(1) (2)より閉区間[a,x]で連続微分可能。(6)より開区間(a,x)でG(x)≠０。
したがって、コーシーの平均値定理を適用して、
F(x)/G(x)=(F(x)−F(a))/(G(x)−G(a))=−(F(a)−F(x))/−(G(a)−G(x))= (F(a)−F(x))/(G(a)−G(x))
= F' ( c1 ) / G' ( c1 )
を満たすc1が、開区間(x, a)に存在する。
(step2)
同様に、 (3) (7)より F'(a)=0、G'(a)=0、コーシーの平均値定理より、
F' ( c1 ) / G' ( c1 ) = ( F' (a)−F' (c1)) / (G' (a)−G' (c1)) = F''( c2 ) / G''( c2 )
を満たすc2が、開区間 (c1, a)に存在する。
・
・
・
(stepN)
同様に、(3) (7)よりF(n-1)(a) =０、G(n-1)(a) =０、コーシーの平均値定理より、
F(n-1)(cn-1)/G(n-1)(cn-1)= (F(n-1)(a)−F(n-1)(cn-1))/(G(n-1)(a)−G(n-1)(cn-1))=F(n)(cn)/G(n)(cn)
= f (n) ( cn )/n! （∵(4), (7')）
を満たすcnが、開区間 (cn−1 , a)に存在する。
つまり、
F(x)/G(x) =F' ( c1 ) / G' ( c1 ) = F''( c2 ) / G''( c2 )=…=F(n-1)(cn-1)/G(n-1)(cn-1)=F(n)(cn)/G(n)(cn)= f (n) ( cn )/n!
を満たすci (1≦i≦n、i∈N)が
x < c1 < c2<…< cn−1 < cn < a
に存在する。
これを簡単にして、G(x)を(x−a) n に戻すと、
F(x)/(x−a) n＝f (n) ( cn )/n! すなわち、F(x) ＝ f (n) ( cn )(x−a) n/n!
を満たすcnが開区間(x,a)に存在する。
との結論に至る。