定理： 合成関数の微分公式　chain rule　

　y = f (x)がx=x0で微分可能で、z = g ( y )が　y0 = f ( x0 ) で微分可能ならば、
　合成関数z=g ( f (x) )はx=x0で微分可能となり、微分係数はg' ( f ( x0 ) ) f ' (x0)で与えられる。
　このことは、dz/dx = dz/dy・dy/dx　とかくことができる。

※図解：ここでの想定
　　　
※簡単な適用例：　y=(2x+3)5　の微分
　　　y=(2x+3)5　は、　　　　　
　　　　z=g(y)=y5, y =f(x)=2x+3の合成関数z=g ( f (x) )。　
　　　　　g'(y)=5y4　、f ' (x)=2　　だから、　　
　　　　z ' = g' ( f ( x ) ) f ' (x)＝5(2x+3)4・2＝10(2x+3)4　　

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合成関数の微分公式の証明

→直感系／厳密系　

（証明1－直感系）

　xの増分⊿xに対するyの増分{ f ( x +⊿x)－f (x)}を⊿y、
　yの増分⊿yに対するzの増分{ g ( y +⊿y )－f (y )}を⊿zとする。

（準備作業）

⊿z／⊿x =（⊿z ／⊿x ）・（⊿y／⊿y）　　　　　　∵⊿y／⊿y＝1　
　　　　＝（⊿z ／⊿y）・（⊿y／⊿x ）　　　…①
⊿x→0なら、⊿y→0　　　　　　　　　　　…②
(本題)
　　　　　　∵①
　　　　　　　　　　　　∵関数の積の極限値　
　　　　　　　　　　　∵②
　　　　　　　　　∵微分係数の定義

（以上をフォーマルな定義に忠実なかたちに書き直すと）



　【文献】

　・『高等学校微分積分』p.53
　・高橋『経済学とファイナンスのための数学』p.53.


(仮定の整理)　
・「y = f (x)がx=x0で微分可能」とはすなわち、
　　　　　　　　　…①　　　　　
　　　　　　が存在するということ。　　　
・「z = g ( y )が y0 = f ( x0 ) で微分可能」とはすなわち、
　　　　　　　　　　　…②　　　　　
　　　　　　が存在するということ。　　　
・y0 = f ( x0 ) 　…③
・x→x0なら、y→y0　　…④　　
　　　　　　　　なぜなら、
　　　　　　　　「y = f (x) が x=x0で微分可能」だから、y = f (x) はx=x0で連続。　　　∵連続と微分可能性の関係についての定理　　　
　　　　　　　　つまり、
　　　　　　　　
　　　　　　　　y = f (x) という定義と③をこれに代入して以下のように書き換えても同じ。
　　　　　　　　
　　　　　　　　つまり、x→x0なら、y→y0　　
　　　　　　
以下、h：x→z と置く。　　
　　　　つまり、z=h(x) = g ( f (x) )
(本題)
x0における h (x) = g ( f (x) )の微分係数：
　h ' (x)　　　　　　
　　　　　　　∵微分係数の定義　　
　　　∵(y－y0)/(y－y0)=1　　　
　　　∵関数の積の極限値　
　　　∵h (x)= g ( f (x) )　
　　　∵ y = f (x) という定義と③　
　　　∵④　
　＝g' ( y0 ) f '( x0 )　　∵①②　
　＝g' ( f ( x0 ) ) f ' ( x0 )　　∵①②　

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（証明2－厳密系）


　　I.
　　　xの増分⊿xに対するyの増分{ f ( x +⊿x )－f ( x )}を⊿y、　…①
　　　このyの増分⊿yに対応するzの増分 { g ( y +⊿y )－ f ( y )}を ⊿z と置く。

　　II.
　　　y = f (x)がx = x0で微分可能であるので、微分可能性の必要十分条件についての定理より、
　　　⊿y＝f' ( x 0 )⊿x＋ε1⊿x　　　　　　　　　　…②
　　　とおくと、⊿x→0のとき、ε1→0。　　　　…③

　　III.
　　　z = g (y) が y= y0 = f (  x0 ) で微分可能であるので、微分可能性の必要十分条件についての定理より、　
　　　⊿z ＝ g' ( y0 )⊿y ＋ ε2⊿y　　　　　　　　　　…④
　　　とおくと、⊿y→0のとき、ε2→0。　　　　…⑤

　　IV
　　　⊿x→0のとき、⊿y→0　　　∵①　
　　　　　　　ゆえに⑤より、ε2→0。　　　　　　…⑦
　　V.
　　　②を④へ代入して、
　　　　 ⊿z＝g' ( y0 ) ( f' ( x 0 )⊿x＋ε1⊿x )＋ε2 ( f' ( x 0 )⊿x＋ε1⊿x )　　　
　　　　　　＝ g' ( y0 ) f' ( x 0 )⊿x ＋ g' ( y0 )ε1⊿x＋ε2 f' ( x 0 )⊿x＋ε2ε1⊿x
　　　　　　＝ g' ( y0 ) f' ( x 0 )⊿x＋ ( g' ( y0 )ε1＋ε2 f' ( x 0 )＋ε2ε1 )⊿x　
　　　ここで、ε＝g' ( y0 )ε1＋ε2 f' ( x 0 )＋ε2ε1とおくと、
　　　　⊿z＝g' ( y0 ) f' ( x 0 )⊿x＋ε⊿x　　　　　　…⑧
　　　③⑦より、⊿x→0のとき、ε→0となる。　　　　
　　　「合成関数 z=g ( f (x) )について、⑧と書くときに、
　　　　⊿x→0のとき、ε→0となる」
　　　ということは、
　　　微分可能性の必要十分条件についての定理より、
　　　「合成関数 z=g ( f (x) )は、x 0で微分可能であり、　　　　
　　　　そこでの微分係数がg' ( y0 ) f' ( x 0 )である」
　　　ということを意味している。



　【文献】

　・吹田・新保『理工系の微分積分学』pp.38-39.
　・矢野・田代『社会科学者のための基礎数学』p.82. 


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