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定理:k次関数の微分 [kが実数全般である場合]

   x>0 ならば任意の実数 kにたいして、  ( x k ) ' = kx k-1   

  kが整数の場合は、x>0の制限がはずれ、実数全体を定義域としてもよい。 [基礎解析p.43]   

【文献】

 ・吹田・新保『理工系の微分積分学p.39.
 ・竹之内『経済・経営系数学概説p. 93
 ・和達『微分積分』p.49;51


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証明1 

   【文献】 吹田・新保『理工系の微分積分学p.39.和達『微分積分p.49. 

  であるから、  
     f(x)=logxk = klogx対数の性質g(y)=e y と置くと、 
    x k = g( f(x) )  と書ける。  
    ところで、
    f ' (x)= kx ( x>0)(対数関数の微分)、g ' (y)=e y (指数関数の微分)だから、
    合成関数の微分の定理から、
    x k = g( f(x) )は、x>0の範囲で微分可能で、 
    x0>0におけるその微分係数は、
    g ' ( f(x0 ) ) f ' ( x0 ) = e f(x0 )kx = x kkx = k x k−1  


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(証明2:対数微分法を利用)  

          [文献] 竹之内『経済・経営系数学概説p. 93; 和達『微分積分p.51 

手順1. 両辺の絶対値の対数をとる。
   log|f(x)| = log| x k |    
  この例では、f(x)>0なので、 
   log f(x) = log x k    
   log f(x) = k log x    ∵対数の性質  
手順2. 両辺を微分。 
  ( log f(x) ) ' = ( k log x ) '    
   f ' (x)/f(x) =k/x     
手順3. 整理 
   f ' (x)=f(x) k/x     
     =
k x k x   ∵ f(x)=x k を代入しただけ 
     = k x k−1  


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