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定理：k次関数の微分 [kが実数全般である場合]

　  x＞０ ならば、任意の実数 kにたいして、　　( x k ) ' = kx k-1  　

　※ kが整数の場合は、x＞０の制限がはずれ、実数全体を定義域としてもよい。　[基礎解析p.43]　 　

【文献】

　・吹田・新保『理工系の微分積分学』p.39.
　・竹之内『経済・経営系数学概説』p. 93
　・和達『微分積分』p.49;51


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証明1　

　　　【文献】　吹田・新保『理工系の微分積分学』p.39.和達『微分積分』p.49.　

　　であるから、　　
　　　　　f(x)=logxk = k・logx（対数の性質）、g(y)=e y　と置くと、　
　　　　x k = g( f(x) )　　と書ける。　　
　　　　ところで、
　　　　f ' (x)= k／x　( x>0)（対数関数の微分）、g ' (y)=e y　（指数関数の微分）だから、
　　　　合成関数の微分の定理から、
　　　　x k = g( f(x) )は、x>0の範囲で微分可能で、　
　　　　x0>0におけるその微分係数は、
　　　　g ' ( f(x0 ) ) f ' ( x0 ) = e f(x0 )・k／x = x k・k／x = k x k−１　　

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(証明2：対数微分法を利用)　　

　　　　　　　　　　[文献]　竹之内『経済・経営系数学概説』p. 93; 和達『微分積分』p.51　

手順1. 両辺の絶対値の対数をとる。
　　　log|f(x)|　＝　log| x k |　　　　
　　この例では、f(x)＞0なので、　
　　　log f(x)　＝　log x k　　　　
　　　log f(x)　＝　k log x　　　　∵対数の性質　　
手順2. 両辺を微分。　
　　(　log f(x)　) ' ＝　(　k log x　) ' 　　　
　　　f ' (x)／f(x)　＝k／x　　　　　
手順3. 整理　
　　　f ' (x)＝f(x) k／x　　　　　
　　　　　＝ k x k ／x　　　∵ f(x)＝x k を代入しただけ　
　　　　　＝ k x k−１　　

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