永尾汎：代数学

概要

「まえがき」から引用する。

本書は（中略）群，環，体といった基本的な代数系について，その基礎理論を概説したものである．

なお本書の第1刷は 1983 年 4 月 1 日付となっている。

本書の本文中には問があり、これについては巻末に略解がある。また、第 1 章を除き章末には問題があるが、 こちらには解答が付されていない。いずれも、単に数学的命題が叙述されているだけの問や問題が多くある。 これは、この命題を証明せよ、という意味に取らねばならない。

左剰余類と右剰余類

p.23 から引用する。

群 `G` の部分群 `H` に対して，`Ha (a in G)` の形の部分集合を `G` における `H` の右剰余類とよび，`aH` の形の部分集合を `H` の左剰余類と呼ぶ．

本書の定義は多数派のようだ。左剰余類と右剰余類を参照。

フェルマーの大定理

p.85 から引用する。

注意 (21.7)はフェルマーの小定理とよばれることがある．これに対して “自然数 `n gt 2` に対して `x^n + y^n = z^n` をみたす整数 `x, y, z` で `xyz != 0` となるものは存在しない” という予想はフェルマーの大定理とよばれ，いまなお未解決の有名な問題である．

フェルマーの大定理（フェルマーの最終定理）は 1995 年にアンドリュー・ワイルズによって完全に証明された。私が参照した本書は 2002 年の発行だが、ここまでは改訂できていないのだろう。

東屋-中山の補題

p.138 には根基についての次の性質が述べられている。

定理 31.3. （東屋-中山）`{::}_RM` は `R-` 有限生成であるとする． このとき `M` の `R-` 部分加群 `N` に対して

`M=N+J(R)M => M = N,`

特に

`M=J(R)M => M = 0.`

注意 定理 31.1 は普通中山の補題とよばれているが，東屋の補題あるいは東屋-中山の補題とよぶべきものである．

このような注意がある理由は詳しくはわからないが、この補題は東屋五郎の発見になるものだから、ということだろうか。 中山の補題は、吉野雄二 : 基礎課程線形代数でも出てきたのを覚えている。

誤植

p.177 の上から15 行め、アンゼンシュタインの判定条件とあるが、正しくは《アイゼンシュタインの判定条件》だろう。

数式の記述

数式は MathJax を用いている。