3項述語の2重量化「∀x1∈S1 ∃x2∈S2  P ( x1, x2, x3 ) 」　


【ポイント】

・「 ∀x1∈S1 ∃x2∈S2  P ( x1, x2, x3 )　」 は、

　　どの《S1に属す対象》を変項x1に代入しても、

　　　その《S1に属す対象》に相応しい《S2に属す対象》が
　　　　　少なくとも一個は存在するので、

　　　その《S1に属す対象》に応じて、
　　　　　相応しい《S2に属す対象》をうまく選んで変項x2に代入することによって

　　　　「変項 x3 は、x1, x2とのあいだの関係・条件Pを満たす」

　　　を成り立たせることができる

　という主張。
　　　
・S1もS2も特定の対象に固定されている場合、
　「 ∀x1∈S1 ∃x2∈S2 P ( x1, x2, x3 )　」は、
　x3 を変項とする1項述語。→詳細 　
　　（例）　 調査中   　　

・S1は特定の対象に固定されているが、S2は《x1と無関連な変項》で、様々な対象が代入される場合、
　「 ∀x1∈S1 ∃x2∈S2 P ( x1, x2, x3 )　」は、
　S2, x3 を変項とする2項述語。→詳細 　
　　（例）　∀ε>0　∃x∈E　0<|x-a|<ε / ∀ε>0　∃x∈E−{a}　|x-a|<ε / ∀ε>0　∃x∈E 　|x-a|<ε　    　　

【詳細】
・ ∀x1∈S1 ∃x2∈S2  P(x1,x2,x3)　：定義/意味/読み/∀x1∈S1 ∃x2∈S2 の定義に遡って
 
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　※総目次

「∀x1∈X1 ∃x2∈X2 ∀x3∈X3   P ( x1, x2, x3 ) 」　の定義



  要旨

　「 ∀x1∈S1 ∃x2∈S2  P ( x1, x2, x3 )　」 は、

　 P ( x1, x2, x3 )の普遍量化を存在量化して普遍量化した

　　　「 ∀x1∈S1 （ ∃x2∈S2   P ( x1, x2, x3 )  ） 」

　を表す。


詳細　〜　S1もS2も特定の対象に固定されている場合　　

・「 ∀x1∈S1 ∃x2∈S2  P ( x1, x2, x3 )　」 とは、

　下記手順でつくった1項述語・1変項命題関数　

　「 ∀x1∈S1 （ ∃x2∈S2 P ( x1, x2, x3 )  ） 」

　の略記。




【文献−数学一般】
　・齋藤『日本語から記号論理へ』
　・中内『ろんりの練習帳』　
　・新井紀子『数学は言葉』例題4.3.1.1数列が極限値に収束するの定義:数列,極限値,ε,N,Mからなる5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.3.1.2関数の極限の定義:5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.4.4数列・級数に極限値が存在して収束する:四重量化(p.147);

【関連事項】　
　　・

　



　　【step1:存在量化】　　

　　3項述語・3変項命題関数 P ( x1, x2, x3 )
　　の変項x２を存在量化子で束縛して存在量化し、

　　　　　x1, x3を変項とする2項述語・2変項命題関数
　　　　　　　「 ∃x2∈S2 P ( x1, x2, x3 )  」
　　　　　　　　　　x2に代入すると、　　　
　　　　　　　　　　　『変項 x1, x2, x3 は、関係・条件Pを満たす』　
　　　　　　　　　　を成立させる《S2に属す対象》が存在する
　　　　　をつくる。

　　【step2:普遍量化】　　

　　　step1で得られた2項述語・2変項命題関数
　　　　　　　「 ∃x2∈S2 P ( x1, x2, x3 )  」
　　　　　　　　　　x2に代入すると、　　　
　　　　　　　　　　　『変項 x1, x2, x3 は、関係・条件Pを満たす』　
　　　　　　　　　　を成立させる《S2に属す対象》が存在する
　　　の変項x1を全称量化子で束縛して普遍量化して得られる
　　　　　x3を変項とする1項述語・1変項命題関数が、

　　　　 　「 ∀x1∈S1 （ ∃x2∈S2 P ( x1, x2, x3 ) ） 」
　　　　　　　　　どの《S1に属す対象》を変項x1に代入しても、
　　　　　　　　　　　「x2に代入すると、
　　　　　　　　　　　　『変項 x1, x2 , x3 は、関係・条件Pを満たす』　
　　　　　　　　　　　　を成立させる《S2に属す対象》が存在する」
　（例）　調査中　
詳細　〜　S1は特定の対象に固定、S2は変項である場合

・「 ∀x1∈S1 ∃x2∈S2  P ( x1, x2, x3 )　」 とは、

　下記手順でつくった2項述語・2変項命題関数　

　「 ∀x1∈S1 （ ∃x2∈S2 P ( x1, x2, x3 )  ） 」

　の略記。

【具体例】
　
　・∀ε∈(0,+∞)　∃x∈E　0<|x-a|<ε 　
　・∀ε∈(0,+∞)　∃x∈E−{a}　|x-a|<ε
　・∀ε∈(0,+∞)　∃x∈E 　|x-a|<ε　    　


　　【step1:存在量化】　　

　　3項述語・3変項命題関数 P ( x1, x2, x3 )
　　の変項x２を「∃x2∈S2」で束縛して存在量化し、

　　　　　S2 ,x1, x3を変項とする3項述語・3変項命題関数
　　　　　　　「 ∃x2∈S2 P ( x1, x2, x3 )  」
　　　　　　　　　　x2に代入すると、　　　
　　　　　　　　　　　『変項 x1, x2, x3 は、関係・条件Pを満たす』　
　　　　　　　　　　を成立させる《S2に属す対象》が存在する
　　　　　をつくる。

　　【step2:普遍量化】　　

　　　step1で得られた3項述語・3変項命題関数
　　　　　　　「 ∃x2∈S2 P ( x1, x2, x3 )  」
　　　　　　　　　　x2に代入すると、　　　
　　　　　　　　　　　『変項 x1, x2, x3 は、関係・条件Pを満たす』　
　　　　　　　　　　を成立させる《S2に属す対象》が存在する
　　　の変項x1を全称量化子で束縛して普遍量化して得られる
　　　　　S2 ,x3を変項とする2項述語・2変項命題関数が、

　　　　 　「 ∀x1∈S1 （ ∃x2∈S2 P ( x1, x2, x3 )  ） 」

　　　　　　　　　どの《S1に属す対象》を変項x1に代入しても、
　　　　　　　　　　　「x2に代入すると、
　　　　　　　　　　　　『変項 x1, x2 , x3 は、関係・条件Pを満たす』　
　　　　　　　　　　　　を成立させる《S2に属す対象》が存在する」


→∀x1∈S1 ∃x2∈S2  P(x1,x2,x3)　
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「　∀x1∈S1 ∃x2∈S2    P ( x1, x2, x3 ) 　」 の意味　


詳細　〜　S1もS2も特定の対象に固定されている場合　

　・　P ( x1, x2, x3 )は、
　　　　　変項x1の議論領域をX1,
　　　　　変項x2の議論領域をX2,
　　　　　変項x3の議論領域をX3,
　　とするn項述語・n変数命題関数

　・　S1は特定の「X1の部分集合」
　・　S２は特定の「X2の部分集合」

　とすると、　

　「 ∀x1∈S1 ∃x2∈S2  P ( x1, x2, x3 )　」 は、　

　　どの《S1に属す対象》を変項x1に代入しても、

　　　その《S1に属す対象》に相応しい《S2に属す対象》が
　　　　　少なくとも一個は存在するので、

　　　その《S1に属す対象》に応じて、
　　　　　相応しい《S2に属す対象》をうまく選んで変項x2に代入することによって

　　　　「x3 は、x1, x2にたいして、関係・条件Pを満たす」

　　　を成り立たせることができる

　という意味の一項述語・1変項命題関数。


　（例）調査中




【文献−数学一般】
　●本橋『新しい論理序説』(pp.)　
　・松井知己『だれでも証明がかける−眞理子先生の数学ブートキャンプ』(pp.-)
　・齋藤『日本語から記号論理へ』章§(pp.-74)
　・中内『ろんりの練習帳』(pp.)　
　・新井紀子『数学は言葉』例題4.3.1.1数列が極限値に収束するの定義:数列,極限値,ε,N,Mからなる5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.3.1.2関数の極限の定義:5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.4.4数列・級数に極限値が存在して収束する:四重量化(p.147);

　


詳細　〜　S1は特定の対象に固定、S2は変項である場合


　・　P ( x1, x2, x3 )は、
　　　　　変項x1の議論領域をX1,
　　　　　変項x2の議論領域をX2,
　　　　　変項x3の議論領域をX3,
　　とするn項述語・n変数命題関数

　・　S1は特定の「X1の部分集合」

【具体例】
　
　・∀ε∈(0,+∞)　∃x∈E　0<|x-a|<ε 　
　・∀ε∈(0,+∞)　∃x∈E−{a}　|x-a|<ε
　・∀ε∈(0,+∞)　∃x∈E 　|x-a|<ε　    　
　・　S２は、「X２の部分集合系」２に属す様々な「X2の部分集合」が代入される変項

　とすると、　

　「 ∀x1∈S1 ∃x2∈S2  P ( x1, x2, x3 )　」 は、　

　　どの《S1に属す対象》を変項x1に代入しても、

　　　その《S1に属す対象》に相応しい《S2に属す対象》が
　　　　　少なくとも一個は存在するので、

　　　その《S1に属す対象》に応じて、
　　　　　相応しい《S2に属す対象》をうまく選んで変項x2に代入することによって

　　　　「S2, x3は、x1,x2にたいして、関係・条件Pを満たす」

　　　を成り立たせることができる

　という意味の２項述語。



→∀x1∈S1 ∃x2∈S2  P(x1,x2,x3)　
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「　∀x1∈S1 ∃x2∈S2    P ( x1, x2, x3 ) 　」 の読み下し例



文献調査中



→∀x1∈S1 ∃x2∈S2  P(x1,x2,x3)　
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∀x1∈S1 ∃x2∈S2 「 ∀x1∈S1 ∃x2∈S2  P ( x1, x2, x3 )　」 の定義に遡った「∀x1∈S1 ∃x2∈S2  P(x1,x2,x3)」の意味　


・「 ∀x1∈S1 ∃x2∈S2   P ( x1, x2, x3 )　」

　すなわち
　「 ∀x1∈S1 （ ∃x2∈S2 P ( x1, x2, x3 ) ） 」

　とは、





　「 ∀x1 ( x1∈S1 ⇒ ∃x2 ( x2∈S2 かつ  P ( x1, x2, x3 )  )  ) 」の省略表現。　

・「 ∀x1∈S1 ∃x2∈S2   P ( x1, x2, x3 )　」　すなわち　「 ∀x1∈S1 （ ∃x2∈S2 (  P ( x1, x2, x3 ) ) ） 」
　は、　
　「 ∀x1 ( x1∈S1 ⇒ ∃x2∈S2 ( P ( x1, x2, x3 ) ) ) 」
　の省略表現（∵）。

・「 ∀x1 ( x1∈S1 ⇒ ∃x2∈S2 ( P ( x1, x2, x3 ) ) ) 」は、
　「 ∀x1 ( x1∈S1 ⇒ ∃x2 ( x2∈S2 かつ P ( x1, x2, x3 ) )  ) 」
　の省略表現（∵）。

→∀x1∈S1 ∃x2∈S2  P(x1,x2,x3)　
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省略形 「∀ S(x) ∃y∈T P(x,y,z)」　たとえば　「∀ x>０ ∃y∈T P(x,y,z)」

【設定】

　・P(x,y,z)は
　　変項xの議論領域をX ,
　　変項yの議論領域をY ,
　　変項zの議論領域をZ
　　とする3項述語・3変数命題関数　

【本題】

・「 ∀S'(x) ∃y∈T P(x,y,z)」

　　たとえば、
　　　Rを変項xの議論領域とした際の「 ∀ x>0 ∃y∈T P(x,y,z)」

　は、

　下記表現aないし表現bのの省略表現。
※基礎

　・「∃ 条件式　n項述語」

※具体例：

　　・∀ε>0　∃x∈E　0<|x-a|<ε
　　・∀ε>0　∃x∈E−{a}　|x-a|<ε
　　・∀ε>0　∃x∈E 　|x-a|<ε　    　　

※類似例：
　　・省略形「∃S'(x) ∀y∈T P(x,y)」　

　【表現a】　　∀x∈ { x∈X | S'(x) }  ∃y∈T　P(x,y,z) 　　

　　　　　　　　　　　　　｜　どの《S'(x)の真理集合に属す対象》を変項xに代入しても、
　　　　　　　　　　　　　｜　　その《S'1(x)の真理集合に属す対象》に相応しい《Tに属す対象》が
　　　　　　　　　　　　　｜　　　　　　　　　　　　　　　　　少なくとも一個は存在するので、
　　　　　　　　　　　　　｜　　その《S'(x)の真理集合に属す対象》に応じて、
　　　　　　　　　　　　　｜　　　　　相応しい《Tに属す対象》をうまく選んで変項 y に代入することによって、
　　　　　　　　　　　　　｜　　　　「x, y, zは、関係・条件Pを満たす」
　　　　　　　　　　　　　｜　　を真にできる

　　　　　　　　上記の例では、　「∀x∈ { x∈R |  x>0  }　∃y∈T　P(x,y,z)」　

　　　　　　　　　　　　　｜　どの《「x>0」の真理集合に属す対象》を変項xに代入しても、
　　　　　　　　　　　　　｜　　その《「x>0」の真理集合に属す対象》に相応しい《Tに属す対象》が
　　　　　　　　　　　　　｜　　　　　　　　　　　　　　　　　少なくとも一個は存在するので、
　　　　　　　　　　　　　｜　　その《「x>0」の真理集合に属す対象》に応じて、
　　　　　　　　　　　　　｜　　　　　相応しい《Tに属す対象》をうまく選んで変項 y に代入することによって、
　　　　　　　　　　　　　｜　　　　「x, y, zは、関係・条件Pを満たす」
　　　　　　　　　　　　　｜　　を真にできる


　【表現b】　　∀x ( S'(x) ⇒ ∃ y∈T P(x,y,z) ) 　

　　　　　　　　　　　　　｜　　どの《議論領域Xに属す対象》を変項xに代入しても、
　　　　　　　　　　　　　｜　　その《Xに属す対象》が条件S'を満たすならば、
　　　　　　　　　　　　　｜ 　　その《Xに属す対象》に相応しい《Tに属す対象》が
　　　　　　　　　　　　　｜ 　　　　　　　　少なくとも一個は存在するので、

　　　　　　　　　　　　　｜ 　　その《Xに属す対象》に応じて、
　　　　　　　　　　　　　｜　　　　相応しい《Tに属す対象》をうまく選んで変項yに代入することによって
　　　　　　　　　　　　　｜ 　　　　「x, y, zは、関係・条件Pを満たす」
　　　　　　　　　　　　　｜ 　　を真にできる
 
　　　　　　　上記の例では、　「 ∀x ( x>0 ⇒ ∃ y∈T P(x,y,z) )   」 　　

　　　　　　　　　　　　　｜　　どの実数を変項xに代入しても、
　　　　　　　　　　　　　｜　　その実数がx>0を満たすならば、
　　　　　　　　　　　　　｜ 　　その実数に相応しい《Tに属す対象》が
　　　　　　　　　　　　　｜　　　　　　　　少なくとも一個は存在するので、
　　　　　　　　　　　　　｜ 　　その実数に応じて、
　　　　　　　　　　　　　｜　　　　相応しい《Tに属す対象》をうまく選んで変項yに代入することによって
　　　　　　　　　　　　　｜ 　　　　「x, y, zは、関係・条件Pを満たす」
　　　　　　　　　　　　　｜ 　　を真にできる
→∀x1∈S1 ∃x2∈S2  P(x1,x2,x3)　
→多重量化一覧　
→論理記号一覧/述語・命題関数
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