実行列の加法・スカラー乗法 ― トピック一覧
[数学についてのwebノート] |
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定義:実行列の和/実行列のスカラー倍/−A/実行列の差 定理:実行列の加法の性質/実行列のスカラー乗法の性質 |
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※実行列関連ページ:
実行列の定義/正方行列に関する様々な行列/
実行列の積の定義/実行列の積の性質 逆行列・正則行列・特異行列の定義 /転置行列の性質 /行列の代数系 ※上位概念: 体上の行列の加法・スカラー乗法 →線形代数目次・総目次・文献一覧 |
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定義:実行列の和 | ||
定義 |
・実行列の和A+Bは、 AとBの型が一致する場合に限り、 対応する成分の 「実数体Rに 定義されている和」を成分とする行列として定義される。 ・つまり、A, Bともに m×n行 列であるならば、 A+B ![]() ![]() と定義される。 なお、aij,bijは実数で あり、 最終式の行列内の"+"は、実数体Rに 定義されている加法を指 す。 ・上記定義を略記すると、 m×n行列A=(aij), B=(bij)にたいして、A+B =(aij+bij) |
[文献] 『岩波数学辞典』83行列B (pp.219-220); 永田『理系のための線形代数の基礎』1.4(p.24); 斎藤『線形代数入門』2章§1(p.32); 藤原『線形代数』2.1(p.22) |
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定義:実行列のスカラー倍 | ||
定義 |
・k∈Rによる、実行列Aの
スカラー倍・スカラー積 kA とは、 Aの各成分の 「実数体Rに 定義されている乗法」に よるk倍を成分とする実行列のこと。 ・つまり、 kA ![]() ![]() と定義される。 なお、 aijは実数で あり、 最終式の行列内のkaijは、 「実数体Rに 定義されている乗法」に よるkとaijと の積を指す。 ・上記定義を略記すると、k∈R, A=(aij)にたいして、kA=(kaij) |
[文献] 『岩波数学辞典』83行列B(pp.219-220); 永田『理系のための線形代数の基礎』1.4(p.24); 斎藤『線形代数入門』2 章§1(p.32); 藤原『線形代数』2.1(p.22) |
設定 | 以上の定義がなされるのは、下記の舞台設定上。 R:実数をすべて集めた集合(実数体) k:実数 (実数体Rの元) A:実行列 |
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定義:−A | ||
定義 |
・「−A」
とは、(−1)∈Rと実行列Aとのスカラー積のこと。 ・つまり、 −A=(−1)A ![]() ![]() ![]() |
[文献] ・藤原『線形代数』2.1(p.23);『高等学校代数幾何』(p.79) |
設定 | 以上の定義がなされるのは、下記の舞台設定上。 R:実数をすべて集めた集合(実数体) k:実数 (実数体Rの元) A:実行列 |
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定義:実行列の差 | ||
定義 |
・実行列Aと実行列Bの差(A−B)とは、A+(−B)のこと。 ・つまり、AとBの型が一致する場合に限り、A−B=A+(−1)Bと定義される。 A,Bともにm×n行列であるならば、 A−B ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
[文献] ・藤原『線形代数』2.1(p.23);『高等学校代数幾何』(p.79) |
設定 | 以上の定義がなされるのは、下記の舞台設定上。 R:実数をすべて集めた集合(実数体) A,B:実行列 |
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定理:実行列の加法の性質 | ||
定理 |
1:可換則 同じ型の任意の実行列A,B,Cについて、行列の加法+は、 A+B=B+A を満たす。 2:結合則 同じ型の任意の実行列A,B,Cについて、行列の加法+は、 (A+B)+C = A+(B+C) を満たす。 3:零行列との和 任意の実行列Aと、同じ型の零行列Oとの間で、 A+O= O+A=A が成り立つ。 4: 任意の行列Aと、同じ型の零行列Oとの間で、 A+(−A)=(−A)+A=O が成り立つ。 |
[文献] ・『岩波数学辞典』83行列B(pp.219-220); ・斎藤『線形代数入門』2章§1(p.33); ・藤原『線形代数』2.1(p.23); ・『高等学校代数幾何』(p.79);] |
設定 | 以上の定理は、下記の舞台設定上で成り立つ。 R:実数をすべて集めた集合(実数体) A,B:実行列 |
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定理:実行列のスカラー乗法の性質 | ||
定理 | 1: 任意の実行列Aと、実数体R上で定義された乗法の単位元"1" との、スカラー積1Aは、Aに等しい。 つまり、 1A=A 2:結合則 任意の実行列Aと、任意のa,b∈Rについて、 「実数体R上で定義された積ab」とAとのスカラー積(ab)Aは、 aと「bとAとのスカラー積bA」とのスカラー積a(bA)に等しい。 つまり、任意の実行列Aと、任意のa,b∈Rに対して、(ab)A=a(bA) 3:実行列に関する分配則 同じ型の任意の実行列A,Bと、任意のa∈R について、 aと「AとBとの和」とのスカラー積a(A+B)は、 「aとAとのスカラー積aA」と「aとBとのスカラー積aB」との和に等しい。 つまり、同じ型の任意の実行列A,Bと、任意のa∈R について、a(A+B)=aA+aB 4:スカラーに関する分配則 任意の実行列Aと、任意のa,b∈R について、 「実数体R上で定義された和a+b」とAとのスカラー積(a+b)Aは、 「aとAとのスカラー積aA」と「bとAとのスカラー積bA」との和に等しい。 つまり、任意の実行列Aと、任意のa,b∈R について、(a+b)A=aA+bA |
[文献] ・斎藤『線形代数入門』2章§1(p.33); ・藤原『線形代数』2.1(p.23); ・『高等学校代数幾何』(p.79); |
設定 | 以上の定理は、下記の舞台設定上で成り立つ。 R:実数をすべて集めた集合(実数体) A,B:実行列 |
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