「自然対数の底」「ネピア数」　e　：　トピック一覧

　・eの存在証明　
　・eの定義　　
　・定理 ：
lim
x→∞, x∈R
 　( 　1　＋　
１
 x
  )
x

 = e 
　・定理：
lim
x→－∞, x∈R
 　( 　1　＋　
１
 x
  )
x

 = e 

→総目次

 

定理：eの存在

　数列an=( 1 ＋ １／n ) n　（n =1,2,3…）　は収束する。

(証明)
　吹田・新保『理工系の微分積分学』p.11
 
　　　
 an ＝ 
n
Σ
k=0
{  nC k  (
１
 n
)
k

}

　　　
　　＝nC0 
(
１
 n
)
0

 ＋ 
n
Σ
k=1
{  nC k   (
１
 n
)
k

}  

　　　
 　　＝ １ ＋ 
n
Σ
k=1
(
n!
 k! (n－k)! 
 
１
nk
)
   ∵combinationの定義 

　　　
 　　＝ １ ＋ 
n
Σ
k=1
(
1
 k! 
 
n!
nk(n－k)! 
)
   

　　　
 　　＝ １ ＋ 
n
Σ
k=1
(
1
 k! 
 
 n(n－1)(n－2)…{n－(k－1)} 
 nk
)
   

　　　
 　　＝ １ ＋ 
n
Σ
k=1
(
1
 k! 
 
 n－0 
 n
 
 n－1 
 n
 
 n－2 
 n
 … 
 n－(k－1) 
 n
)
   

　　　
 　　＝ １ ＋ 
n
Σ
k=1
{
1
 k! 
 ( 1 － 
0
n
 )  ( 1 － 
1
n
 )  ( 1 － 
2
n
 ) … ( 1 － 
k－1
n
 ) 
}
   

　　　　　　　　　　　　　　　※　{　} 内は、k≧４を想定して書いてしまったので、ちょっと…。

　　　
 　　＝ １ ＋ 
 1 
 1! 
 ( 1 － 
0
n
 ) ＋ 
 1 
 2! 
 ( 1 － 
1
n
 ) ＋ 
 1
 3! 
 ( 1 － 
1
n
 ) ( 1 － 
2
n
 ) ＋ … ＋ 
{
1
 n! 
 ( 1 － 
1
n
 )  ( 1 － 
2
n
 ) … ( 1 － 
n－1
n
 ) }  　　　…(1)  

　　つまり、

　　　
 a1　＝　１　＋　
 1 
 1! 
 ( 1 － 
0
1
 )　＝　2    

　　　
 a2　＝　１　＋　
 1 
 1! 
 ( 1 － 
0
2
 )　＋　
 1 
 2! 
 ( 1 － 
1
2
 ) 　＝　2 ＋ 
 1 
 2 
 
1
 2 
 

　　　
 a3　＝　１　＋　
 1 
 1! 
 ( 1 － 
0
3
 )　＋　
 1 
 2! 
 ( 1 － 
1
3
 )　＋　
 1 
 3! 
 ( 1 － 
1
3
 ) ( 1 － 
2
3
 )　＝　2 ＋ 
1
2
 
2
3
 ＋ 
1
3・2
 
2
3
 
1
3
　　　
　　　
 a4　＝　１　＋　
 1 
 1! 
 ( 1 － 
0
4
 )　＋　
 1 
 2! 
 ( 1 － 
1
4
 )　＋　
 1 
 3! 
 ( 1 － 
1
4
 ) ( 1 － 
2
4
 )　＋　
1
4!
 ( 1 － 
1
4
 )  ( 1 － 
2
4
 ) ( 1 － 
3
4
 )  

　
 ＝　2　＋　
1
2
 
3
4
　＋　
 1 
 3・2 
 
3
4
 
2
4
　＋　
1
4・3・2
 
3
4
 
2
4
 
1
4
 
 
　
　　　　：　
　　　　：　
　　　
 an  　＝　 １　 ＋　 
 1 
 1! 
 ( 1 － 
0
n
 ) 　＋　 
 1 
 2! 
 ( 1 － 
1
n
 )　＋　
 1
 3! 
 ( 1 － 
1
n
 ) ( 1 － 
2
n
 ) ＋ … ＋　 
{
1
 n! 
 ( 1 － 
1
n
 )  ( 1 － 
2
n
 ) … ( 1 － 
n－1
n
 ) }  
　　　　：　
　　　　：　
　数列{an} は、増加列。　…(2)
　なぜなら、
　　1.　展開式の全ての項は正である。
　　2.　nが増えるに従い、展開式の同じ位置にある項の大きさは大きくなる。

　　　たとえば、

　　　・展開式の第3項は、

　　　
　 n =2 で、　
 1 
 2! 
 ( 1 － 
1
2
 )  

　　　
　 n =3 で、　
 1 
 2! 
 ( 1 － 
1
3
 )　　

　　　
　 n =4 で、　
 1 
 2! 
 ( 1 － 
1
4
 )　
　　　　：
　　　　：
　　　
　 n =n で、　
 1 
 2! 
 ( 1 － 
1
n
 )　
　　　　：
　　　　：
　　　　つまり、1/2・1/2, 1/2・2/3, 1/2・3/4,…,1/2・(n－1) n,…
　　　　1/2にかける相手が、nの増大に伴い1/2から1に近づいていくので、
　　　　展開式の第3項全体は、nが増えるに従い、確かに大きくなっていっている。

　　　・展開式の第4項目は

　　　
　 n =3 で、　
 1 
 3! 
 ( 1 － 
1
3
 ) ( 1 － 
2
3
 )　
　　　
　　　
　 n =4 で、　
 1 
 3! 
 ( 1 － 
1
4
 ) ( 1 － 
2
4
 )　
　　　　：　
　　　　：　
　　　
　 n =n で、　 
 1
 3! 
 ( 1 － 
1
n
 ) ( 1 － 
2
n
 )  
　　　　：　
　　　　：　
　　　　つまり、1/3!・2/3・1/3,　　1/3!・3/4・2/4,
　　　　　　　　1/3!・4/5・3/5 ,…,1/3!・99/100・98/100 ,…,1/3!・999/1000・998/1000 ,…　　
　　　　1/3!にかける相手が、nの増大に伴い2/3・1/3から1に近づいていくので、
　　　　第4項全体は、nが増えるに従い、確かに大きくなっていっている。

　　3.　nが増えるに従い、このような性格をもつ項の総数も増えてゆく
　　　たとえば、n =2で anの展開式は3項からなる、
　　　　　　　n =3で anの展開式は4項からなる、
　　　　　　　n =4で anの展開式は5項からなる、
　　　　　　　　　：
　　　　　　　　　：　
　数列{an} は、上に有界。　…(3)

　　なぜなら、


  an  　≦　 １　＋　
1 
 1! 
　＋　
1 
2!
　＋　
1
3!
　 ＋ … ＋　 
1
 n! 
　　　　∵①で、1／k! と掛け合わせる相手は0より大きく1以下。 


　≦　 １　＋　
1
1
　＋　
1
2
　＋　
1
22
　 ＋ … ＋　 
1
2n-1
　　　　∵  k!＝k・(k－1)・(k－2)・…・3・2＞2・2・2…・2・2=2k-1     


　　＝　 １　＋　
 1 －  (
1
2
) n
 1 － 
1
2
 
　　　∵　等比数列の和　　


　　＝　１　＋　2　
{
 1 －  (
1
2
) n
} 　　＝　１　＋　2　－ 2 
1
2n
    


　　　＝　3 － 
1
2n-1
 ＜3　　　　　　　∵ n=1で3－1、n=2で3－1/2、…、n→∞で3－0   
　　
　　(2)(3)より、数列{an} は収束する。　
　　　　∵定理：有界な単調数列は収束する。

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定義：eの定義

　
　数列　an =　  ( 　1　＋　
１
 n
  )
n

　は収束するが　(→この数列が収束することの証明)、

　その極限値


lim
n→∞, n∈N
 　( 　1　＋　
１
 n
  )
n



　をeで表し、これを「自然対数の底」、あるいは「ネピアNapier数」という。

　　　　　　[吹田・新保『理工系の微分積分学』p.11;青本『微分と積分1』 pp.24-25]

　※小平『解析入門I』pp.43-44, 青本『微分と積分1』 pp.24-25では、
　　　　 

∞
Σ
n=0
 
１
n!
　＝　1 ＋ 
１
１!
 ＋ 
１
2!
 ＋ 
１
3!
 ＋ … ＋ 
１
n!
 ＋ …  
　　をeの定義とし、これが上記の式と等しくなることを示している。　

　　青本『微分と積分1』 pp.24-25は、かなり一般的なかたちで論を展開しており、非常に有益。　　

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定理：　　
lim
x→∞, x∈R
 　( 　1　＋　
１
 x
  )
x

 = e 


(証明)　　吹田・新保『理工系の微分積分学』p.29、和達『微分積分』p.30;　
　
　　実数x＞1として、n = [x] とおく。　　
　　　　　　　　　　　　　　＊  [x] ：ガウス記号。実数xに対して、xを超えない最大の整数を表す。
　　すなわち、1≦ n ≦ x ＜ n＋1　　　　　　　　…(1)
　　(1)より、　0＜ 1／(n＋1) ＜ 1／x ≦1／n ≦1　…(2)
　　(1)(2)より、 
( 　1　＋　
１
 n+1 
 )
n

 　<　( 　1　＋　
１
 x 
 )
x

　<　( 
　1　＋　
１
 n 
 )
n+1

　　　…(3)


　　　
lim
n→∞
 ( 　1　＋　
１
 n+1 
 )
n

　＝　
lim
n→∞
  ｛ ( 　1　＋　
１
 n+1 
 )
n+1

 ( 
　1　＋　
１
 n+1
 )
-1

 ｝　


　　　
 　＝　
lim
n→∞
   ( 　1　＋　
１
 n+1 
 )
n+1

・
lim
n→∞
 ( 
　1　＋　
１
 n+1
 )
-1

　∵定理：数列の積の極限値　　


　　　
 　＝　
lim
n→∞
   ( 　1　＋　
１
 n+1 
 )
n+1

・
１
lim
n→∞
 ( 
1＋
１
 n+1
 )
　∵定理：数列の商の極限値　　


　　　
 　＝　
lim
n→∞
   ( 　1　＋　
１
 n+1 
 )
n+1

・
１　
 1　＋ 
lim
n→∞
１
 n+1


 
　∵定理：数列の和の極限値　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　e　　　　…(4)　　　　　　　∵eの定義、1/(n+1)→0　(n→∞)　


　　　
lim
n→∞
 ( 　1　＋　
１
 n 
 )
n+1

　＝　
lim
n→∞
  ｛ ( 　1　＋　
１
 n 
 )
n

 ( 
　1　＋　
１
 n
 )  ｝　


　　　
 　＝　
lim
n→∞
   ( 　1　＋　
１
 n 
 )
n

・
lim
n→∞
 ( 
　1　＋　
１
 n
 ) 　∵定理：数列の積の極限値　　



　＝　 
lim
n→∞
  ( 　1　＋　
１
 n 
 )
n

 ・ ( 1 ＋ 
lim
n→∞
１
 n 
 ) 
    
  　∵定理：数列の和の極限値　 

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　e　　　　…(5)　　∵eの定義、1/n→0　(n→∞)　

　　x→∞のとき、n→∞だから、(4)(5)より、
　　　《(3)の左右の項》→e　　
　　つまり、x→∞で、

 　e　<　( 　1　＋　
１
 x 
 )
x

　<　e　


　　よって、
lim
x→∞, x∈R
 　( 　1　＋　
１
 x
  )
x

 = e 

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定理：
lim
x→－∞, x∈R
 　( 　1　＋　
１
 x
  )
x

 = e 

(証明)　　吹田・新保『理工系の微分積分学』p.29、和達『微分積分』p.30;　

　　t= －xとおく。

　　すると、
　　x→－∞のとき、t→∞。　　…(1)
　　
( 　1　＋　
１
 x 
 )
x

 ＝( 　1　－　
１
 t 
 )
-t

＝( 
 t－1 
 t
 )
-t

＝(
 t  
 t－１ 
 )
t

＝(
 t－1+1 
 t－１ 
 )
t

＝( 　1　＋　
 1 
 t－１ 
 )
t

＝( 　1　＋　
 1 
 t－１ 
 )
t-1

 ( 　1　＋　  
 1 
 t－１ 
 ) 　　　…(2)


lim
x→－∞
 　( 　1　＋　
１
 x
  )
x

  


　＝　
lim
t→∞
 　{ ( 　1　＋　
１
 t－１
 )
t-1

 (  　1　＋　
１
 t－１
 ) }
    
  　∵(1)(2)  


　＝　 
lim
t→∞
  ( 　1　＋　
１
 t－１
 )
t-1

 ・ 
lim
t→∞
  ( 　1　＋　
１
 t－１
 ) 
    
  　∵定理：数列の積の極限値　 


　＝　 
lim
t→∞
  ( 　1　＋　
１
 t－１
 )
t-1

 ・ ( 1 ＋ 
lim
t→∞
１
 t－１
 ) 
    
  　∵定理：数列の和の極限値　 

　　　　＝　e  　　　∵　(1+1/x)x →e (x→∞) 、　1/n→0　(n→∞)　　　　　

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(reference)

吉田耕作・栗田稔・戸田宏『平成元年3/31文部省検定済高等学校数学科用　高等学校　微分・積分　新訂版』啓林館.pp.60-62.
吹田・新保『理工系の微分積分学』学術図書出版社、1987年, p.11(eに収束する証明);29;38(微分);47(級数展開,無理数であることの証明) 。
矢野・田代『社会科学者のための基礎数学　改訂版』裳華房、1993年.p.84-85.
和達三樹『理工系の数学入門コース1・微分積分』岩波書店、1988年,p.21;30-31;49(微分);
青本和彦『岩波講座現代数学への入門：微分と積分1』 岩波書店、1995年、pp.24-25。
小平邦彦『解析入門I』 (軽装版)岩波書店、2003年、pp.43-44。
Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics: Third Edition, McGraw Hill,1984.pp.274-282.