2変数関数の収束の、点列・数列の収束への言い換えの証明 | ||
次の命題 P,命題Qは互いに言い換え可能(つまり、命題P⇔命題Q)である。 |
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命題 P:点P(x,y)を点A(a,b)に近づけたとき、 関数f ( P )=f (x,y)が実数cに収束する これを記号で表すと、 f ( P )→c ( P→A ) f (x,y)→c ( x→a , y→b ) ![]() ![]() など。 |
命題 Q:どんなR2上の点列{ Pn }={ P1 , P2 , P3,…}={ (x1 ,y1 ) , (x2 ,y2 ), (x3 ,y3 ),…} についてであれ、 1. その点列{ Pn }={ P1 , P2 , P3,…}={ (x1 ,y1 ) , (x2 ,y2 ), (x3 ,y3 ),…}が 点A(a,b)に収束し、 かつ 2. その点列の各項 P1 , P2 , P3,…がどれも点Aと一致しない 限り、 その点列の各項 P1 , P2 , P3,…を2変数関数f によりR上に写した像の数列 { f ( Pn ) }={ f ( P1 ), f ( P2 ) , f ( P3 ) ,… }={ f ( x1 ,y1 ) , f (x2 ,y2 ), f (x3 ,y3 ),… } は実数cに収束する。 つまり、 Pn→A (n→∞) かつ P1≠A , P2≠A , P3≠A ,…ならば、f (Pn)→c (n→∞) 論理記号で表すと、 (∀{ Pn })(( Pn→A (n→∞)かつ(∀n) (Pn ≠A) )⇒ f (Pn)→c (n→∞)) |
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命題 P⇒命題Qの証明 |
step
1:証明したい「命題P⇒命題Q」を、証明しやすいかたちに、言い換えておく。[→とばしてstep2へ]
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命題 Q⇒命題Pの証明 |
Step
1:証明したい「命題Q⇒命題P」を、証明しやすいかたちに、再定式化。**********
仮定から、
仮定が存在を保証する「ある正の
1.
この{ Pn }は、(ex-1:ε’≧1の場合)
2.
この{ Pn }は、条件2「 P1≠A , P2≠A , P3≠A ,…」を満たす。3.
この{ Pn }は、
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