前ページ で見たように，屈折率 $n_1$ の媒質から屈折率 $n_2$ の媒質に光波が，入射角 $\theta_1$ で入射し，屈折角 $\theta_2$ で屈折する場合のエネルギー反射率，およびエネルギー透過率は，入射面に平行な偏光成分，垂直な偏光成分それぞれについて，\[ \kern-1em R_\para = \bigg(\bun{n_2 \cos\theta_1 - n_1\cos\theta_2}{n_2 \cos\theta_1 + n_1 \cos\theta_2} \bigg)^2 \quad \cdots\cdots\maru{8} \\ \kern -1em R_\prep = \bigg(\bun{n_1 \cos\theta_1 - n_2\cos\theta_2}{n_1 \cos\theta_1 + n_2 \cos\theta_2} \bigg)^2 \quad \cdots\cdots\maru{9} \\ \kern -1em T_\para = \bun{4 n_1n_2\, \cos\theta_1 \, \cos\theta_2}{(n_2 \cos\theta_1 + n_1 \cos\theta_2)^2 } \quad \cdots\cdots\Maru{10} \\ \kern -1em T_\prep = \bun{4 n_1n_2\, \cos\theta_1 \, \cos\theta_2}{(n_1 \cos\theta_1 + n_2 \cos\theta_2)^2 } \quad \cdots\cdots\Maru{11} \]で与えられました。
点Ａにおけるエネルギー反射率は， $\maru{8}$ ～ $\Maru{11}$ 式中で $n_1=1$ ， $n_2=n$ ， $\theta_1=\alpha$ ， $\theta_2=\beta$ とおいて， \[ \kern-1em R_\para = \bigg(\bun{n \cos\alpha - \cos\beta}{n \cos\alpha + \cos\beta} \bigg)^2 \quad \cdots\cdots\maru{8}' \\ \kern -1em R_\prep = \bigg(\bun{ \cos\alpha - n\cos\beta}{ \cos\alpha + n \cos\beta} \bigg)^2 \quad \cdots\cdots\maru{9}' \\ \kern -1em T_\para = \bun{4 n \, \cos\alpha \, \cos\beta}{(n \cos\alpha + \cos\beta)^2 } \quad \cdots\cdots\Maru{10}' \\ \kern -1em T_\prep = \bun{4 n \, \cos\alpha \, \cos\beta}{( \cos\alpha + n \cos\beta)^2 } \quad \cdots\cdots\Maru{11}'\] となる。一方，点Ｂや点Ｃでの雨滴内反射の場合は， $\maru{8}$ ～ $\Maru{11}$ 式中で $n_1=n$ ， $n_2=1$ ， $\theta_1=\beta$ ， $\theta_2=\alpha$ とおいて， \[ \kern-1em R_\para{}' = \bigg(\bun{ \cos\beta - n \, \cos\alpha}{ \cos\beta + n \, \cos\alpha} \bigg)^2 \quad \cdots\cdots\maru{8}'' \\ \kern -1em R_\prep{}' = \bigg(\bun{ n \, \cos\beta - \cos\alpha}{n \, \cos\beta + \cos\alpha} \bigg)^2 \quad \cdots\cdots\maru{9}'' \\ \kern -1em T_\para{}' = \bun{4 n \, \cos\beta \, \cos\alpha}{( \cos\beta + n \cos\alpha)^2 } \quad \cdots\cdots\Maru{10}'' \\ \kern -1em T_\prep{}' = \bun{4 n \, \cos\beta \, \cos\alpha}{(n \cos\beta + \cos\alpha)^2 } \quad \cdots\cdots\Maru{11}'' \] となる。
これより， $R_\para{}' = R_\para$ ， $R_\prep{}' = R_\prep$ ， $T_\para{}' = T_\para$ ， $T_\prep{}' = T_\prep$ となり，光が雨滴外から雨滴内に入射する場合も，逆に雨滴内から雨滴外へ射出される際の反射と屈折の場合も，いずれもエネルギー反射率，エネルギー透過率はそれぞれ等しい値をとることになります。
３次散乱光（主虹ができるケース）の場合，点Ａで透過，点Ｂで反射，点Ｃで透過が起きているので，散乱光の入射光に対するエネルギー比 $I$ は，それぞれの成分について， \[ \kern-1em I_\para = T_\para{}^2\cdot R_\para \\ = \bigg \{ \bun{4 n \, \cos\alpha \, \cos\beta}{( n \cos\alpha + \cos\beta)^2 } \bigg\}^2 \cdot \bigg(\bun{ n \cos\alpha - \cos\beta}{ n \cos\alpha + \cos\beta} \bigg)^2 \\ \kern-1em I_\prep = T_\prep{}^2\cdot R_\prep \\ = \bigg \{ \bun{4 n \, \cos\alpha \, \cos\beta}{( \cos\alpha + n \cos\beta)^2 } \bigg\}^2 \cdot \bigg(\bun{ \cos\alpha - n \, \cos\beta}{ \cos\alpha + n \, \cos\beta} \bigg)^2 \] となります。４次散乱光（副虹ができるケース）の場合では雨滴内反射がもう１回加わるので，散乱光のエネルギー比 $I'$ は，それぞれの成分について， \[ \kern-1em I_\para{}' = T_\para{}^2\cdot R_\para{}^2 \\ = \bigg \{ \bun{4 n \, \cos\alpha \, \cos\beta}{( n \cos\alpha + \cos\beta)^2 } \bigg\}^2 \cdot \bigg(\bun{ n \cos\alpha - \cos\beta}{ n \cos\alpha + \cos\beta} \bigg)^4 \\ \kern-1em I_\prep{}' = T_\prep{}^2\cdot R_\prep{}^2 \\ = \bigg \{ \bun{4 n \, \cos\alpha \, \cos\beta}{( \cos\alpha + n \cos\beta)^2 } \bigg\}^2 \cdot \bigg(\bun{ \cos\alpha - n \, \cos\beta}{ \cos\alpha + n \, \cos\beta} \bigg)^4 \] となります。
これらの式に \[\alpha = \arcsin\bigg(\bun{b}{a}\bigg) = \arcsin(y) \\ \beta = \arcsin\bigg(\bun{b}{ n \, a} \bigg) =\arcsin\bigg(\bun{y}{n}\bigg) \\ \kern 2em \bigg(\, y = \bun{b}{a}\, \bigg) \] を代入すれば $I_\para - y $ ，$I_\prep - y $ ， $I_\para{}' - y$ ， $I_\prep{}' - y$ の関係をグラフにすることができます。
図２は３次散乱光（図１の点Ｃでの散乱光，雨滴内反射１回）の場合の，図３は４次散乱光（図１の点Ｄでの散乱光，雨滴内反射２回）の場合の，それぞれ屈折率 $n=1.331$ （ほぼ赤色）の光に関するエネルギー比のグラフで，青線が垂直偏光成分について，赤色が平行偏光成分について，さらに緑色の破線はそれぞれ場合での散乱角と $y$ との関係を示しています。グラフ右側の縦軸はエネルギー比の値を，左側の縦軸は散乱角の値です。
◎虹による偏光：
図２に示したように，３次散乱光では，衝突係数 $y = 0.86$ で雨滴に入射した光線によって主虹（の赤色）ができます（散乱角 $42.3^\circ$ ）。このときの光線の垂直偏光成分のエネルギー比は $I_\prep = 0.088$ ほどの値を示していますが，対して平行偏光成分のエネルギー比 $I_\para $ はほとんど $0$ になっています（ $y = 0.80$ のとき， $I_\para $ は完全に $0$ となります。⇒ $\alpha + \beta = \pi/2$ を満たす。 ブリュースターの法則 を参照)。
ということは，主虹（の赤色）には平行偏光成分はほとんど含まれておらず，垂直偏光成分のみでできている…ということが言えます。
副虹をつくる４次散乱光についても同様であり，図３で分かるように，副虹のできる衝突係数 $y = 0.95$ では平行偏光成分は非常に小さい値になっており，副虹にも平行偏光成分はほとんど含まれていないことになります。
これらのことは，他の色の主虹，副虹（さらに高次の散乱光を含めて）についても全く同様であり，水滴による虹散乱光一般について言えることなのです。
以上より，虹散乱光について，虹はほとんど垂直偏光成分のみからなる直線偏光に近い形 なっている ということが言えます。
このことは，カメラなどで使われている偏光フィルターを通して虹を見たとき，偏光フィルターを90度回転させる毎に虹が見えたり見えなくなったりすることで確認できます。
ちなみに図２，図３より，垂直偏光成分のエネルギー比は，主虹で $I_\prep \kinji 0.088$ ，副虹で $I_\prep{}' \kinji 0.035 $ ほどなので，副虹の明るさは主虹の明るさの４割ほどしかないことも分かります。
虹の話
概要
解説１（解説１：雨滴による虹散乱）
解説２（虹の色と散乱角）
解説３（散乱角の詳細計算）
解説４（反射率）
解説５（虹散乱での反射率）
＊＊＊ 以下，過剰虹 関連 ＊＊＊
解説６（波動光学）
解説７（過剰虹成因の概要）
解説８（波面の式）
解説９（虹の光強度の式）
解説１０（波動光学による虹）