以下，雨滴（水滴）を半径 $a$ の球とする。
太陽光線の雨滴への入射位置を，入射光線に平行な雨滴の中心線から測った高さを $b$ とすると， $y=\bun{b}{a}$ を「衝突係数」といいます。雨滴による散乱光の方向は，衝突係数によって決まります。
散乱光の方向は 散乱角 $\theta$ （ 太陽光線の入射方向から測った角度 ）で表すこととし，まずこれを求めてみます。
◎内部反射１回の場合（主虹ができるケース）：
上図は，内部反射を１回起こした光線の経路の例です。ただし，点Ｂでの射出光は省略してあります。
この場合，雨滴の上半分（上図中心線より上）に入射した光線のみを考えればよい。なぜなら，下半分に入射した光線は，雨滴から出たのち上空に向かってしまい，観測者には届かないからです。
入射点Ａでの入射角を $\alpha$ ，屈折角を $\beta$ とすると ，射出点Ｃでも同じ角度の屈折が起きます。反射点Ｂでの入射角，反射角はともに $\beta$ です。
光線が進む方向の折れ曲がりの角度（＝振れ角，偏向角）は，点Ａと点Ｃでそれぞれ $(\alpha - \beta)$ ，点Ｂで $(\pi - 2\beta)$ 。よって全偏向角 $\delta$ は，\[\kern-4em 全偏向角 \delta = Ａでの偏向角 + Ｂでの偏向角 \\ \quad\quad\quad\quad\quad \quad\quad\quad + Ｃでの偏向角 \\ = (\alpha - \beta ) + (\pi - 2\beta) + (\alpha - \beta ) \\ = \pi + 2\alpha - 4\beta \] ゆえに，太陽光の入射方向から測った散乱角 $\theta$ は，\[\kern-1em \theta = \pi - \delta \\ = 4\beta - 2\alpha \quad\cdots\cdots\maru{1}\] 上式に入射点Ａ，射出点Ｃで成り立つ屈折の法則を適用してみる。
雨滴の屈折率を $n$ ，空気の屈折率を $1$ とすると ，屈折の法則より，\[\sin\alpha = n\times \sin\beta \quad\cdots\cdots\maru{2} \] また，雨滴半径 $a$ と光線の入射する高さ $b$ の関係から，\[\sin\alpha=\bun{b}{a}=y \quad\cdots\cdots\maru{3}\] ここで数学では， $x=\sin\,\theta $ を満たす角 $\theta$ を表すのに， \[\theta=\arcsin(x) ，\quad \mathrm{or} \quad \theta=\sin^{-1}(x)\] のように表記します。
よって $\maru{3}$ 式， $\maru{2}$ 式を満たす角 $\alpha$ ，角 $\beta$ は，次のように書けます。\[\sin\alpha = \bun{b}{a} = y \\ \quad \Rightarrow\quad \alpha=\arcsin\bigg(\bun{b}{a}\bigg) = \arcsin \big(y \big) \cdots\maru{2}' \\ \sin\alpha=n\times \sin\beta \quad\quad \therefore \bun{b}{a} = n\times \sin\beta \\ \quad \Rightarrow\quad \beta = \arcsin\bigg(\bun{b}{n \, a}\bigg) = \arcsin\bigg(\bun{y}{n}\bigg) \cdots\maru{3}'\]
これらの式を $\maru{1}$ 式に代入すると，散乱角 $\theta$ は，\[\kern-1em \theta = 4\beta - 2\alpha \\ = \color{red}{4 \, \arcsin \bigg(\bun{y}{n}\bigg) - 2 \, \arcsin \big(y \big)} \quad \cdots\cdots\maru{4}\] となります。
◎内部反射２回の場合（副虹ができるケース）：
上図は，内部反射を２回起こした光線の経路の例です。ただし，点Ｂ，点Ｃでの射出光は省略してあります。
この場合，散乱光が地上にいる観測者に向かってくるのは，雨滴の下半分（上図中心線より下）に入射した光線に限られます。
各点での振れ角は，入射点Ａ・射出点Ｄでそれぞれ $(\alpha - \beta)$ ，点Ｂ，点Ｃでそれぞれ $(\pi - 2\beta)$ ゆえ，\[\kern-3em 全偏向角 \delta = Ａでの偏向角 + Ｂでの偏向角 \\ \kern4em + Ｃでの偏向角 + Ｄでの偏向角 \\ = (\alpha - \beta ) + (\pi - 2\beta) + (\pi - 2\beta) + (\alpha - \beta ) \\ = 2 \pi + 2\alpha - 6\beta \] よって，太陽光の入射方向から測った散乱角 $\theta$ は，\[\kern-1em \theta = \delta - \pi \\ = \pi + 2\alpha - 6\beta \\ = \color{red}{\pi + 2 \, \arcsin\big(y \big) - 6 \, \arcsin\bigg(\bun{y}{n}\bigg) } \quad\cdots\cdots\maru{5}\]となります。
次に続く（解説２：虹の色と散乱角）
虹の話
概要
解説１（解説１：雨滴による虹散乱）
解説２（虹の色と散乱角）
解説３（散乱角の詳細計算）
解説４（反射率）
解説５（虹散乱での反射率）
＊＊＊ 以下，過剰虹 関連 ＊＊＊
解説６（波動光学）
解説７（過剰虹成因の概要）
解説８（波面の式）
解説９（虹の光強度の式）
解説１０（波動光学による虹）