R
上の区間塊の長さを一般化した集合関数が有限加法的測度であることの証明
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[準備]
・舞台設定
R ：実数の全体の集合。すなわち、R＝{ x| −∞ < x < ＋∞ }
集合系(族)E： R上の区間塊として考えられ得るものすべてを集めてきた集合系(族)。
※区間塊Eは、Rの部分集合だから、EはRの部分集合系(族)となっている。
f (x) ： R上の実数値関数(つまり、f: R→R)で、R上単調増加関数。以下のΨに組み込まれる。
Ψ(I) ： 直線の長さの一般化である集合関数Ψ。
すなわち、
(i) I=(a, b] (ただし−∞< a< b<＋∞)ならば、 Ψ(I) = f (b)−f (a)
(ii) I=φならば、 Ψ(φ) = 0
(iii) それ以外ならば、Iに含まれる任意の区間J=(a', b'] (ただし−∞< a'< b'<＋∞)に対して、
Ψ(I) = sup { Ψ( J ) }= sup { f (b')−f (a') }
※f (x)= xとしてf (x)を組み込んだΨ(I)が、一般に「左半開区間Iの長さ」と呼ばれるもの。
・集合関数μの定義
Eに属す、すべてのEは、区間塊であるから、
type 1: 左半開区間(a, b]={ x | a<x≦b } (ただし−∞< a< b<＋∞),
type 2: (−∞, b]={ x | x≦b } (ただし−∞< b<＋∞)、
type 3: (a , ∞)={ x | a<x } (ただし−∞< a <＋∞)、
type 4: (−∞, ∞)=実数全体の集合R
type 5: 空集合φ
の5タイプの区間の有限個の直和として表す（＝互いに素な有限個の上記５タイプの区間へ分割する）
ことができる。
すなわち、
Eに属す、すべてのEには常に、
1以上の或る自然数nが存在して、
E= I1＋…＋In （ただし、I1,…,Inは、上記5タイプいずれかの区間）
と表せる。 ※自然数nは1以上とわざわざことわったのは、E= I1というケースも当然ありうるという意味。
そこで、直線の長さの一般化である集合関数Ψを用いて、
μ(E)=Ψ(I1)＋Ψ(I2)＋…＋Ψ(In)
と、関数μを定義する。
このうち特に、f (x)= x としてΨ(I)= b−aとした際のμ(E)は、きれぎれの直線Eの長さの和となる。
[本題]
Rで定義された上記の実数値E-集合関数μは、E上の有限加法的測度である。
[証明]
第１に、性質2より、Eは有限加法族である。
第2に、有限加法的測度の第１要件： 任意のE∈Eに対して、0≦μ(E)≦∞、μ(φ)=0を満たしている。
→なぜなら、任意のE∈Eに対して、μ(E)は直線の長さの一般化である集合関数Ψの有限和。
集合関数Ψは、常にΨ(I)≧0で、Ψ (I)=0となるのはI=φのケースのみであったから、
その有限和であるμも、常にμ≧0で、μ(φ)=0。
第3に、有限加法的測度の第2要件： 任意の互いに素なE1,E2 ∈E に対して、μ(E1+E2)=μ(E1)+μ(E2)
→なぜなら、任意の互いに素なE1,E2 ∈Eに対して、両者は区間塊だから、
1以上の或る自然数n, m が存在して、
E1= I1＋…＋In 、 E2= In+1＋…＋I n+m
ただし、I1,…,I n+mは、下記5タイプいずれかの区間で、各々はすべて互いに素。
type 1: 左半開区間(a, b]={ x | a<x≦b } (ただし−∞< a< b<＋∞),
type 2: (−∞, b]={ x | x≦b } (ただし−∞< b<＋∞)、
type 3: (a , ∞)={ x | a<x } (ただし−∞< a <＋∞)、
type 4: (−∞, ∞)=実数全体の集合R
type 5: 空集合φ
と表せて、…(1)
μ()の定義より、
μ(E1)=Ψ(I1)＋…＋Ψ(In)、μ(E2)=Ψ(I n+1)＋…＋Ψ(I n+m) …(2)
他方、 (1)より、E1+E2＝I1＋…＋In＋In+1＋I n+m と表せるから、μ()の定義より、
μ(E1+E2)=Ψ(I1)＋…＋Ψ(In)＋Ψ(I n+1)＋…＋Ψ(I n+m) …(3)
(2)(3)から、μ(E1+E2)=μ(E1)+μ(E2) =Ψ(I1)＋…＋Ψ(In)＋Ψ(I n+1)＋…＋Ψ(I n+m)
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