集合と1項述語・1変数命題関数とのリンク

	[文献] 　・竹内『集合とはな にか―はじめて学ぶ人のために』1章立場の変換-共通部分と和集合(pp.2４-6) 　・中谷『論理』 5.2-C(p.111)

　(1)

　　・「集合Aと集合Bの共通部分」は、
　　　「『《集合Aの内包をなす性質・条件》かつ《集合Bの内包をなす性質・条件》』の真理集合」に一致する。

　　・「『性質・条件Pかつ性質・条件Q』の真理集合」は、
　　　「『性質・条件Pの真理集合』と『性質・条件Qの真理集合』の共通部分」に一致する。

　　・記号で表すと、

　　　　A＝{ x | P(x) } { x∈Ω | P(x) }、B＝{ x | Q(x) } という設定のもとで、

　　　　A∩B ＝ { x | x∈Aかつx∈B } ＝ { x | P(x) かつ Q(x) } 　
　　　
　　　※なぜ？
　　　　・A∩B ＝ { x | x∈Aかつx∈B } は、∩の定義。
　　　　・ { x | x∈Aかつx∈B } ＝ { x | P(x) かつ Q(x) } は、
　　　　　　　x∈AとP(x)　、x∈BとQ(x)　は、互いに言い換えてよいから（∵）。　

　　　※集合A,Bという記号を使わずに書くと、
　　　　　{ x | P(x) }∩{ x | Q(x) } ＝ { x | P(x) かつ Q(x) } 　　[中谷(5-17)(p.111)]
　　　
　(2)

　　・集合Aの内包が性質・条件P、集合Bの内包が性質・条件Qであるとき、
　　　つまり、A＝{ x | P(x) } 、B＝{ x | Q(x) } のとき、
　　　以下の4表現は、同一のことがらを表すので、互いに言い換えてよい。

　　　【表現1】

　　　　　aは、性質・条件Pを満たし、かつ、性質・条件Qも満たす。
　　　　　すなわち、
　　　　　　P(a) かつ Q(a)　（ただし、P(a)は、命題関数P(x)にaを代入してつくった命題、　Q(a)は、命題関数Q(x)にaを代入してつくった命題）

　　　【表現2】

　　　　　aは 「『性質・条件Pかつ性質・条件Q』の真理集合」に属す。
　　　　　すなわち、
　　　　　a∈ { x | P(x) かつ Q(x) } 

　　　【表現3】

　　　　　aは 「集合Aと集合Bの共通部分」に属す。

　　　　　a∈ (A∩B)　　　　　　

　　　【表現4】

　　　　　aは、集合Aに属し、かつ、集合Bに属す。
　　　　　すなわち、
　　　　　　a∈A　かつ　a∈B　　　　　　


　　　※なぜ？
　　　　・表現1と表現2:
　　　　　　　「P(a) かつ Q(a)」と「a∈ { x | P(x) かつ Q(x) } 」は互いに言い換えてよい。 （∵）
　　　　・表現2と表現3:
　　　　　　　(1)より、A∩B ＝ { x | P(x) かつ Q(x) } だから、
　　　　　　　「a∈ { x | P(x) かつ Q(x) } 」と「a∈ (A∩B)」とは互いに言い換えてよい。

　　　　・表現１と表現4 : a∈AとP(a)　、a∈BとQ(a)　は、互いに言い換えてよい（∵）。　

	[文献] 　・竹内『集合とはな にか―はじめて学ぶ人のために』1章立場の変換-共通部分と和集合(pp.2４-6) 　・中谷『論理』 5.2-B(pp.107-8);D(p.115)

　(1)

　　・「集合Aと集合Bの合併」は、
　　　「『集合Aの内包をなす性質・条件』または『集合Bの内包をなす性質・条件』の真理集合」に一致する。
　　　　

　　・「『性質・条件P または 性質・条件Q』の真理集合」は、
　　　「『性質・条件Pの真理集合』と『性質・条件Qの真理集合』の合併」に一致する。

　　・記号で表すと、

　　　　A＝{ x | P(x) } 、B＝{ x | Q(x) } のとき
　　　　A∪B ＝ { x | x∈A または x∈B } ＝ { x | P(x) または Q(x) } 　
　　　
　　　※なぜ？
　　　　・A∪B ＝ { x | x∈Aまたはx∈B } は、∪の定義。
　　　　・ { x | x∈Aまたはx∈B } ＝ { x | P(x) または Q(x) } は、
　　　　　　　x∈AとP(x)　、x∈BとQ(x)　は、互いに言い換えてよいから（∵）。　

　　　※集合A,Bという記号を使わずに書くと、
　　　　　　{ x | P(x) }∪{ x | Q(x) } ＝ { x | P(x) または Q(x) } 　[中谷(5-11)(p.108)]

　　　
　(2)

　　・集合Aの内包が性質・条件P、集合Bの内包が性質・条件Qであるとき、
　　　つまり、A＝{ x | P(x) } 、B＝{ x | Q(x) } のとき、
　　　以下の4表現は、同一のことがらを表すので、互いに言い換えてよい。

　　　【表現1】

　　　　　aは、性質・条件Pを満すか、または、性質・条件Qを満たす。
　　　　　すなわち、
　　　　　　P(a) または Q(a)　（ただし、P(a)は、命題関数P(x)にaを代入してつくった命題、　Q(a)は、命題関数Q(x)にaを代入してつくった命題）

　　　【表現2】

　　　　　aは 「『性質・条件Pまたは性質・条件Q』の真理集合」に属す。
　　　　　すなわち、
　　　　　a∈ { x | P(x) または Q(x) } 

　　　【表現3】

　　　　　aは 「集合Aと集合Bの合併」に属す。

　　　　　a∈ (A∪B)　　　　　　

　　　【表現4】

　　　　　aは、集合Aに属すか、または、集合Bに属す。
　　　　　すなわち、
　　　　　　a∈A　または　a∈B　　　　　　


　　　※なぜ？
　　　　・表現1と表現2:
　　　　　　　「P(a) または Q(a)」と「a∈ { x | P(x) または Q(x) } 」は互いに言い換えてよい。 （∵）
　　　　・表現2と表現3:
　　　　　　　(1)より、A∪B ＝ { x | P(x) または Q(x) } だから、
　　　　　　　「a∈ { x | P(x) または Q(x) } 」と「a∈ (A∪B)」とは互いに言い換えてよい。

　　　　・表現１と表現4 : a∈AとP(a)　、　a∈BとQ(a)　は、互いに言い換えてよい（∵）。　

	[文献] 　・中谷『論理』 5.2-A(pp.105-6) 　・竹内『集合とはな にか―はじめて学ぶ人のために』1章立場の変換-共通部分と和集合(pp.36-8)

　(1)

　【言葉で】

　　議論領域（全体集合）Ωにおいて、
　　　集合Aの内包が性質・条件Pであるとき、
　　　　　「集合Aの補集合」と、
　　　　　「『性質・条件Pを満たさない』の真理集合」とは、
　　　　　一致する。

　【記号で】

　　[設定]

　　　　・P(x) は、Ωを議論領域とする述語・命題関数P(x)
　　　　・Aは、{ x∈Ω | P(x) }  で定義される集合
　　　とする。
　　　このとき、 ¬ P(x) も、Ωを議論領域とする述語・命題関数となる。　

　　[本論]

　　　　この設定の下で、

　　　　　A^c ＝ { x'∈Ω |  x'A } ＝ { x'∈Ω | ¬ P(x') }  　

　　　※なぜ？
　　　　・A^c ＝ { x'∈Ω |  x'A } は、A^cの定義。
　　　　・x' A={x∈Ω|P(x)} と ¬ P(x')　は、互いに言い換えてよいから（∵）、 { x'∈Ω |  x'A } ＝ { x'∈Ω | ¬ P(x') } 。  　

　　　※集合Aという記号を使わず、結論だけ書くと、以下のようになる。
　　　　　「議論領域（全体集合）Ωにおける性質・条件Pの真理集合」の補集合と、
　　　　　「議論領域（全体集合）Ωにおける『性質・条件Pを満たさない』の真理集合」とは、
　　　　　一致する。
　　　　　　　{ x∈Ω | P(x) }^c ＝  { x∈Ω | ¬ P(x) }  　[中谷(5-5)(p.106)]

　　　
　(2)

　　　以下の4表現は、同一のことがらを表すので、互いに言い換えてよい。

　　　【表現1】

　　　　　aは、性質・条件Pを満たさない。
　　　　　すなわち、
　　　　　¬P(a)　（ただし、P(a)は、命題関数P(x)にaを代入してつくった命題）

　　　【表現2】

　　　　　aは 「『性質・条件Pを満たさない』の真理集合」に属す。
　　　　　すなわち、
　　　　　a∈ { x∈Ω | ¬P(x)  } 

　　　【表現3】

　　　　　aは 「性質・条件Pの真理集合」に属さない。
　　　　　a {  x∈Ω | P(x)  }　

　　　【表現4】

　　　　・aは 「性質・条件Pの真理集合の補集合」に属す。
　　　　　すなわち、
　　　　　a∈ {  x∈Ω | P(x)  } ^c 　

　　　※なぜ？

　　　　・表現1と表現2:
　　　　　　　Q(a)とa∈ { x | Q(x) }　は互いに言い換えてよい （∵）。
　　　　　　　 Q(x)が、¬P(x)  であっても、このことは成り立つので、¬P(a)とa∈ { x | ¬P(x) }　は互いに言い換えてよい、　　
　　　　・表現１と表現3:《集合における∈の否定》と《述語における否定》との言い換えから。 　　　　　　　

　　　　・表現2と表現4 :(1)より、 { x∈Ω | ¬ P(x) } ＝ { x∈Ω | P(x) }^c だから、a∈ { x∈Ω | ¬P(x)  } と a∈ {  x∈Ω | P(x)  } ^c とは互いに言い換えてよい。

	[文献] 　・前原『記号論理入門』 第1章§6.1(p.10) 　・中谷『論理』 5.4B必要条件と十分条件(pp.129-30)　 　・本橋『新しい論理序説』3.3(pp.44-56)
	・竹内『集合とはな にか―はじめて学ぶ人のために』は記述なし。

　【言葉で】

　
　(1)　集合から述語論理への翻訳

　　　「集合Aは『集合Bの部分集合』」
　　　「集合Aは集合Bに含まれる」　 A ⊂ B 　

　　　という主張は、

　　　「普遍集合Ωのどの元をとってみても、
　　　　　その元が『集合Aの内包をなす性質・条件』を満たすならば、
　　　　　　　　　その元は『集合Bの内包をなす性質・条件』も満たす」

　　　という命題に言い換えてよい。


　(2)　述語論理から集合への翻訳

　　　「議論領域Ωのどの対象をとってみても、その対象が性質・条件Pを満たすならば、その対象は性質・条件Qも満たす」 ∀a∈Ω ( P(a) ⇒ Q(a) ) 

　　　という命題は、

　　　「《性質・条件Pの 真理集合》は『《性質・条件Qの真理集合》の部分集合』」「《性質・条件Pの 真理集合》は《性質・条件Qの真理集合》に含まれる」　{ x∈Ω | P(x) }  ⊂ { x∈Ω | Q(x) } 

　　　という主張に言い換えてよい。


　【記号で】

　　[設定]
　　　　・P(x) は、Ωを議論領域とする述語・命題関数P(x)
　　　　・Q(x) は、Ωを議論領域とする述語・命題関数Q(x)
　　　　・Aは、P(x)の真理集合 { x∈Ω | P(x) } 　　　　　　　　
　　　　・Bは、Q(x)の真理集合 { x∈Ω | Q(x) } 　　　　　　　　　　　
　　　とする。

　　[本論]

　　　この設定の下で、
　　　以下の三表現は、互いに言い換えてよい。 
　　　　【表現1】 A ⊂ B 　　　　　　　　　　　すなわち、 { x∈Ω | P(x) }  ⊂ { x∈Ω | Q(x) }  　
　　　　【表現2】 ∀a∈Ω ( a∈ A ⇒ a∈ B )　　　すなわち、 ∀a∈Ω ( a∈ { x∈Ω | P(x) } ⇒ a∈{ x∈Ω | Q(x) } ) 　
　　　　【表現3】 ∀a∈Ω ( P(a) ⇒ Q(a) )  　　　　　すなわち、 ∀a∈Ω ( P(a) ⇒ Q(a) ) 　

　　※なぜ？

　　　　・「A⊂B 」の定義が 「 ∀a∈Ω ( a∈A ⇒ a∈B ) 」 だから、
　　　　　【表現1】と 【表現2】とは、互いに言い換えてよい。  　
　　　　・a∈ { x∈Ω | P(x) }  と P(a) は互いに言い換えてよい（∵）。
　　　　　同様に、a∈ { x∈Ω | Q(x) }  と Q(a) も互いに言い換えてよい（∵）。
　　　　　したがって、【表現2】と【表現3】とは、互いに言い換えてよい。

	[文献] 　・中谷『論理』 5.4A条件文の真理集合(pp.126-7)　 　・本橋『新しい論理序説』3.3(pp.44-56)
	・竹内『集合とはな にか―はじめて学ぶ人のために』は記述なし。

　【言葉で】

　　議論領域をΩとし、変項xを主語とする述語・命題関数
　　　　「xが性質・条件Pを満たすならば、xは性質・条件Qを満たす」
　　の真理集合は、　　
　　
　　「普遍集合Ωにおける『性質・条件Pの真理集合』」
　　と
　　『性質・条件Qの真理集合』
　　との合併

　　に一致する。


　【記号で】
　
　　 {  x∈Ω | P(x) ⇒ Q(x) }　＝　{  x∈Ω | ¬P(x)  または  Q(x) }　＝　{  x∈Ω | ¬P(x) }   ∪ {  x∈Ω | Q(x) } 　＝　{  x∈Ω | P(x) } ^c  ∪ {  x∈Ω | Q(x) } 　
　　

　　※なぜ？→中谷