証明「収束数列は有界数列」

3. 収束数列は有界

・収束する数列は有界数列である。
　すなわち、　a_n→α(n→∞) ⇒　(∃M) ( |a_n|<M)

・逆に、有界数列が、収束するとは限らない。　　

・対偶：有界でない数列は、収束しない。
　　　　→発散の定義[; 杉浦『解析入門I』定義2,p.18]

　　cf. 定理：有界な単調数列は収束する
　　　　ボルツァノ・ワイエルストラスの定理：有界な数列は収束部分列を含む。


	[文献] 　・吹田・新保『理工系の微分積分学』定理1 (2),p.7 　・杉浦『解析入門I』命題2.4,p.13 　・松坂『解析入門1』2.1-C-定理2(p.61) 　・黒田『微分積分学』§2.5.2定理2.6(p.46 　・赤『実数論講義』定理5.2.3(p.121):証明付　・高木『解析概論』定理４(p.6) 　・細井『はじめて学ぶイプシロン・デルタ』5章定理5.5(p.45)：証明付。　・青本『微分と積分1』命題1.23(p.18) 　・小平『解析入門I』§1.5-a末尾(p.３７) 　・永倉･宮岡『解析演習ハンドブック[1変数関数編]』3.1.5(p.91)

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証明「収束数列は有界」

　　a_n→α(n→∞)とする。
　　収束の定義から、
　　　任意の（どんな小さな）正の実数εに対して（でも）、
　　　ある（十分大きな）自然数Nをとると、
　　　| a_n －α|＜ε　(n＞N)　　　…(※)　
　　　が成り立つ。　　
　　
　　各n＞Ｎに対して、
　　　　 | a_n |=| (a_n －α)＋α|
　　　　　　　≦|a_n －α|＋|α|　　（∵絶対値の性質　|x+y|≦|x|+|y|　）
　　　　　　　＜　　ε　＋ |α|　　　　∵　(※)　　
　　（以下、釈然としないが）
　　全てのn∈N にたいして、
　　　　　

とおけば、
　　　　　| a_n |＜Ｋ。
　　　※なぜ、1≦K≦Nの範囲における|a_k|の最大値を、
　　　　　　　　 n＞Ｎの範囲における|a_k|の上界　（ε＋ |α|）に、
　　　　足し合わせるのか？
　　　　大きくとれば、その範囲内にあるのは、わかるが、枠が大きすぎるというか。
　　　　ゆるゆるの枠でも、枠内に収まるのであれば、証明したことになるのはわかるけれども。

3. 収束数列は有界

証明「 収束数列は有界」

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