（証明）
log|x| は、
y=f(x)=|x|、 z=g(y)=log y の合成関数 z=g( f(x) )
と捉えられる。
Step1: 合成関数の微分ができる範囲の確定作業
Step1-1: y=f(x)=|x|の微分可能性について。
絶対値の定義は、
y=f(x)=|x|はx＞０, x＜０の範囲で微分可能だが、x =0で微分可能ではない。
（右微分係数と左微分係数がことなる）※絶対値関数の性質
Step1-2: z=g(y)=log y の微分可能性について。y＞０で微分可能。
∵対数関数の微分
Step1-3:
したがって、
(i) x0＞0とすると、
y = f (x)がx=x0で微分可能で、z = g ( y )もy0 = f ( x0 ) = x0 で微分可能なので、
合成関数z=g ( f (x) )はx=x0で微分可能となり、
微分係数はg’( f ( x0 ) ) f ’(x0)で与えられる。
∵定理：合成関数の微分
(ii) x0＜0とすると、
y = f (x)がx=x0で微分可能で、
z = g ( y )もy0 = f ( x0 ) = −x0 （＞０） で微分可能なので、
合成関数z=g ( f (x) )はx=x0で微分可能となり、
微分係数はg’( f ( x0 ) ) f ’(x0)で与えられる。 ∵定理：合成関数の微分
(iii) x0＝0とすると、y = f (x)がx=x0で微分可能ではないので、
合成関数z=g ( f (x) )はx=x0で微分可能ではない。
したがって、log|x|の微分係数は、
(i)x=x0＞0において (ii)x=x0＜0においてに分けて、求めるべき。
Step2: 微分作業
(i) x=x0＞0における微分係数
y=f(x)=|x|= x (x＞０) なので、f ' (x)＝１
z=g(y)=log yの導関数は、対数関数の微分より、g ' (y)＝１／y
したがって、合成関数の微分より、
x=x0＞0における微分係数：g ' ( f ( x0 ) ) f ' (x0)＝(１／f ( x0 ))・1=1／x0
(ii) x=x0＜0における微分係数
y=f(x)=|x|=−x (x＜０) なので、f ' (x)＝−１
z=g(y)=log yの導関数は、対数関数の微分より、g ' (y)＝１／y
したがって、合成関数の微分より、
x=x0＜0における微分係数：g ' ( f ( x0 ) ) f ' (x0)
＝(１／f ( x0 ))・(−1)
＝(１／−x0)・(−1)
=1／x0
[
文献]『高等学校微分積分』p.62