[トピック一覧:基本行列]
・定義:基本行列[type1/2/3]
・性質:基本行列と基本変形の対応、基本行列の正則性と逆行列、基本行列の積の正則性と逆行列
※関連ページ:基本変形、掃き出す、階数
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定義:基本行列elementary matrix
[永田『理系のための線形代数の基礎』1.7(p.39);藤原『線形代数』2-3(pp.37-46);
斎藤『線形代数入門』2章§4(pp.46-47);ホフマン・クンツェ『線形代数学I』1.3(pp.6-7)。
志賀『線形代数30講』11講(pp.71-74);19講(pp.121-125);20講(p.129)]
(舞台設定)
R:実数をすべて集めた集合(実数体)
A:(m,n)型実行列
(本題)
実数体R上のn次基本行列とは、次の3つのtypeの「実数体R上のn次正方行列」のこと。
・基本行列type 1:Pn ( i, j, ci,j )
[永田『理系のための線形代数の基礎』1.7(p.39);藤原『線形代数』2-3(pp.37-46);
斎藤『線形代数入門』2章§4(pp.46-47);ホフマン・クンツェ『線形代数学I』1.3(pp.6-7)。]
・「実数体R上のn次単位行列」の非対角成分の一つを、
ci,j∈Rで上書きしてつくった「実数体R上のn次正方行列」。
・詳しく言えば、基本行列Pn ( i, j, ci,j )とは、以下の3条件をすべて満たす「実数体R上のn次正方行列」。
条件1:すべての対角成分が「実数体Rにおける乗法の単位元『1』」であり、
条件2:ある一つの( i, j )成分[ただしi≠j ]がci,j∈R、
条件3:上記の( i, j )成分を除く非対角成分がすべて「実数体Rにおける加法の単位元『0』」
・j<i である場合の基本行列Pn ( i, j, ci,j )の例
・i<j である場合の基本行列Pn ( i, j, ci,j )の例
・実数体R上の(m,n)型実行列Aに、右からn次基本行列type 1:Pn ( i, j, ci,j )をかけると、
(m,n)型実行列Aに列基本変形type1を施したことになる。
※本当?→証明
・実数体R上の(m,n)型実行列Aに、左からm次基本行列type 1:Pm ( i, j, ci,j )をかけると、
(m,n)型実行列Aに行基本変形type1を施したことになる。
※本当?→証明
・n次基本行列type 1:Pn ( i, j, ci,j )は正則行列。その逆行列は、n次基本行列type 1:Pn ( i, j,−ci,j )。
※本当?→証明
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・基本行列type 2:Qn ( i, j )
[永田『理系のための線形代数の基礎』1.7(p.39);藤原『線形代数』2-3(pp.37-46);
斎藤『線形代数入門』2章§4(pp.46-47);ホフマン・クンツェ『線形代数学I』1.3(pp.6-7)。]
・「実数体R上のn次単位行列」の二つの列を入れ替えてつくった「実数体R上のn次正方行列」。
・詳しく言えば、以下の4条件をすべて満たす「実数体R上のn次正方行列」。
条件1:対角成分のうち、( i, i )成分と( j, j )成分[ただしi≠j ]の二つが
「実数体Rにおける加法の単位元『0』」。
条件2:上記の( i, i )成分と( j, j )成分の二つを除くすべての対角成分が、
「実数体Rにおける乗法の単位元『1』」。
条件3:非対角成分のうち、上記のi , j に応じてきまる( i, j )成分と( j, i )成分の二つが、
「実数体Rにおける乗法の単位元『1』」。
条件4:上記の( i, j )成分と( j, i )成分を除く非対角成分がすべて「実数体Rにおける加法の単位元『0』」。
・i<j である場合の基本行列Pn ( i, j, cij )の例
・実数体R上の(m,n)型実行列Aに、右からn次基本行列type 2:Qn ( i, j )をかけると、
(m,n)型実行列Aに列基本変形type2を施したことになる。
※本当?→証明
・実数体R上の(m,n)型実行列Aに、左からm次基本行列type 2:Qn ( i, j )をかけると、
(m,n)型実行列Aに行基本変形type2を施したことになる。
※本当?→証明
・n次基本行列type 2:Qn ( i, j )は正則行列で、その逆行列も、n次基本行列type 2:Qn ( i, j )。
※本当?→証明
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・基本行列type 3:Rn ( i, c )
[永田『理系のための線形代数の基礎』1.7(p.39);藤原『線形代数』2-3(pp.37-46);
斎藤『線形代数入門』2章§4(pp.46-47);ホフマン・クンツェ『線形代数学I』1.3(pp.6-7)。]
・「実数体R上のn次単位行列」の対角成分の一つを、
c∈Rで上書きしてつくった「実数体R上のn次正方行列」。
・詳しく言えば、以下の3条件をすべて満たす「実数体R上のn次正方行列」。
条件1:ある一つの対角成分( i, i )成分がc∈R。
条件2:上記の( i, i )成分を除くすべての対角成分が、「実数体Rにおける乗法の単位元『1』」。
条件3:非対角成分がすべて「実数体Rにおける加法の単位元『0』」。
・実数体R上の(m,n)型実行列Aに、右からn次基本行列type 3:Rn ( i, c )をかけると、
(m,n)型実行列Aに列基本変形type3を施したことになる。
※本当?→証明
・実数体R上の(m,n)型実行列Aに、左からm次基本行列type 3:Rn ( i, c )をかけると、
(m,n)型実行列Aに行基本変形type3を施したことになる。
※本当?→証明
・n次基本行列type 3:Rn ( i, c )は正則行列で、その逆行列は、n次基本行列type 3:Rn ( i, c−1 )。
※本当?→証明
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定理:基本行列と基本変形の対応関係
[永田『理系のための線形代数の基礎』1.7(p.39);藤原『線形代数』2-3(pp.37-39);
斎藤『線形代数入門』2章§4(pp.46-47);]
(舞台設定)
R:実数をすべて集めた集合(実数体)
A:(m,n)型実行列
(本題)
・実数体R上の(m,n)型実行列Aに、右からn次基本行列type 1:Pn ( i, j, ci,j )をかけると、
(m,n)型実行列Aに列基本変形type1を施したことになる。
※本当?→証明
・実数体R上の(m,n)型実行列Aに、左からm次基本行列type 1:Pm ( i, j, ci,j )をかけると、
(m,n)型実行列Aに行基本変形type1を施したことになる。
※本当?→証明
・実数体R上の(m,n)型実行列Aに、右からn次基本行列type 2:Qn ( i, j )をかけると、
(m,n)型実行列Aに列基本変形type2を施したことになる。
※本当?→証明
・実数体R上の(m,n)型実行列Aに、左からm次基本行列type 2:Qn ( i, j )をかけると、
(m,n)型実行列Aに行基本変形type2を施したことになる。
※本当?→証明
・実数体R上の(m,n)型実行列Aに、右からn次基本行列type 3:Rn ( i, c )をかけると、
(m,n)型実行列Aに列基本変形type3を施したことになる。
※本当?→証明
・実数体R上の(m,n)型実行列Aに、左からm次基本行列type 3:Rn ( i, c )をかけると、
(m,n)型実行列Aに行基本変形type3を施したことになる。
※本当?→証明
→[トピック一覧:基本行列]
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定理:基本行列の正則性と逆行列
[永田『理系のための線形代数の基礎』1.7(p.40);斎藤『線形代数入門』2章§4(pp.46-47);]
・n次基本行列type 1:Pn ( i, j, ci,j )は正則行列。その逆行列は、n次基本行列type 1:Pn ( i, j,−ci,j )。
※本当?→証明
・n次基本行列type 2:Qn ( i, j )は正則行列で、その逆行列も、n次基本行列type 2:Qn ( i, j )。
※本当?→証明
・n次基本行列type 3:Rn ( i, c )は正則行列で、その逆行列は、n次基本行列type 3:Rn ( i, c−1 )。
※本当?→証明
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定理:基本行列の積の正則性と逆行列
n次基本行列A,Bの行列積ABは正則行列であって、(AB)-1=B-1A-1 。
(証明)
・n次基本行列A,Bは、その定義により、n次正方行列である。…(1)
・n次基本行列A,Bは、正則行列である。(∵) …(2)
・定理「n次正方行列A,Bが正則行列ならば、行列積ABも正則行列であって、(AB)-1=B-1A-1 」…(3)
・(1)(2)より、n次基本行列A,Bは、(3)の条件を満たす。
ゆえに、n次基本行列A,Bの行列積ABは正則行列であって、(AB)-1=B-1A-1
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(reference)
日本数学会編集『岩波数学辞典(第三版)』 岩波書店、1985年、項目83行列D行列の階数(p.220)
線形代数のテキスト
志賀浩二『数学30講シリーズ:線形代数30講』朝倉書店、1988年、11講消去法と基本変形(pp.71-74);19講正則行列と基本行列(pp.121-125);第20講基本変形(p.129)。
ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年、2.3基底と次元(pp.41-50)。
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、1.3ベクトル空間(pp.14-6)。
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年、Vベクトル空間§6ベクトル空間の公理化(p.115)。線形従属・独立については、数ベクトルに限定?
藤原毅夫『理工系の基礎数学2:線形代数』岩波書店、1996年、4.1線形空間と写像(p.91)。 線形従属・独立については、数ベクトルに限定?
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、第4章§2線形空間(p.96):実線形空間・複素線形空間のみ;附録V§2体(p.249)。
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