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定義:列を掃き出す sweep out 〜を要(かなめ)として列を掃き出す
[永田『理系のための線形代数の基礎』1.7(p.40);斎藤『線形代数入門』2章§4(p.48);]
(舞台設定)
R:実数をすべて集めた集合(実数体)
A:(m,n)型実行列
apq :Aの( p, q ) 成分。ただし、0でないとする。
(本題)
「(m,n)型実行列Aの( p, q ) 成分を要として、実行列Aの第q列を掃き出す」とは、
以下の手順で行基本変形を組み合わることによって、
実行列Aの第q列について、( p, q ) 成分apqを1とし、第q列のそれ以外のすべての成分を0にすること
をいう。
[手順1]
の第p行を、apq−1倍して、
すなわち
とする。
この操作は、行基本変形type3であるから、
この操作によって得られた実行列は、Rm( p, apq−1)A という行列積に等しい。
[手順2]
手順1によって得られた実行列
の第i行(ただし、第p行をのぞく)に、第p行の−a i q倍を加えて、
すなわち
とする。
この操作は、行基本変形type1であるから、
この操作の結果生じた実行列は、Pm ( i, p,−a i q )Rm( p, apq−1)A という行列積に等しい。
[手順3] 第p行をのぞく、すべての行を第i行として、手順2を施して、
すなわち
とする。
これは
という行列積に等しい。
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(reference)
日本数学会編集『岩波数学辞典(第三版)』 岩波書店、1985年、項目83行列D行列の階数(p.220)
線形代数のテキスト
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、1.3ベクトル空間(pp.14-6)。
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、第2章§4(p.48)。
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年。該当箇所見当たらず。