R
2上の区間塊の面積を定義する集合関数μ( )の性質4の証明−ケース2-1
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・舞台設定
R2 : 2つの「実数の全体の集合」Rの直積。すなわち、
R×R={ (x ,y ) |x ∈ Rかつ y ∈ R }={ (x ,y ) | −∞<x<+∞かつ −∞<y<+∞ }
集合系(族)E : R2上の区間塊として考えられ得るものすべてを集めてきた集合系(族)。
※区間塊Eは、R2の部分集合だから、Eは R2の部分集合系(族)となっている。
Ψ(I) : R2上の区間の面積を定義する集合関数Ψ。
すなわち、
type 1: 左半開区間(a, b] ={ x | a<x≦b } (ただし−∞< a< b<+∞),
type 2: (−∞, b] ={ x | x≦b } (ただし−∞< b<+∞)、
type 3: (a , ∞) ={ x | a<x } (ただし−∞< a <+∞)、
type 4: (−∞, ∞)=実数全体の集合R
type 5: 空集合φ
のいずれかのかたちのR上区間の直積となるR2上区間Iに対して、
(i) I=(a, b]×(a', b'] (−∞< a< b<+∞, −∞< a'< b'<+∞)ならば、Ψ(I) =( b−a ) (b'−a' )
(ii) I=φならば、 Ψ(φ) = 0
(iii) Iが上記以外〜つまり、(−∞, b]×(a' , ∞)など非有界の矩形〜ならば、
Ψ(I) =+∞
※値域は、広義の実数R*上の区間[0, +∞]となる。
「広義の実数」では、実数における演算が拡張されているので(特に+∞について)注意。
・集合関数μの定義
Eに属す、すべてのEは、R2上の区間塊であるから、
type 1: 左半開区間(a, b]={ x | a<x≦b } (ただし−∞< a< b<+∞),
type 2: (−∞, b]={ x | x≦b } (ただし−∞< b<+∞)、
type 3: (a , ∞)={ x | a<x } (ただし−∞< a <+∞)、
type 4: (−∞, ∞)=実数全体の集合R
type 5: 空集合φ
のいずれかのかたちの区間の直積の有限個の直和として表す
(=互いに素な有限個の「上記5タイプの区間の直積」へ分割する)
ことができる。
すなわち、
Eに属す、すべてのEには常に、
1以上の或る自然数nが存在して、
E= I1+…+In (ただし、I1,…,Inは、上記5タイプいずれかの区間の直積で、互いに素)
と表せる。※自然数nは1以上とわざわざことわったのは、E= I1というケースも当然ありうるという意味。
そこで、面積を定義する集合関数Ψを用いて、
μ(E)=Ψ(I1)+Ψ(I2)+…+Ψ(In)
と、 R2上の区間塊Eの面積を定義する集合関数μを定義する。
[μ( )の性質4]
type 1: 左半開区間(a, b] (ただし−∞< a< b<+∞),
type 2: (−∞, b] (ただし−∞< b<+∞)、
type 3: (a , ∞) (ただし−∞< a <+∞)、
type 4: (−∞, ∞)
type 5: 空集合φ
のいずれかのかたちの
R上区間の直積である限りで任意の区間Iと、
区間Iにたいして任意にとったα<μ(I)にたいして、
(a*, b* ]×(a'*, b'* ] (ただし−∞< a*< b*<+∞ , −∞< a'*< b'*<+∞ )
空集合φ
のいずれかのかたちをした、ある有界区間
Jが存在し、
[J]⊂I かつ α<μ(J)
を満たす。
すなわち、
(a, b] , (−∞, b] , (a , ∞) , (−∞, ∞) , φのいずれかのかたちのR上区間の直積をすべて集めた集合系をI、
(a*, b* ]×(a'*, b'* ], φのいずれかのかたちをした区間をすべて集めた集合系をJとおくと、
(∀I∈I) (∀α<μ(I)) (∃J∈J ) ( [J]⊂Iかつα<μ(J) )
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[μ( )の性質4の証明:ケース2-1] [伊藤『ルベーグ積分』I-§4有限加法的測度:定理4.2証明内(p. 20);]
[case2-1:
区間Iが、type 2: (−∞, b]×(a', b'] (−∞< b<+∞, −∞< a'< b'<+∞)というかたちをしている場合]
step
0:証明すべき主張の分析
この場合、上記の主張は、
「任意の区間I=(−∞, b]×(a', b'] (−∞< b<+∞, −∞< a'< b'<+∞) と、
このI=(−∞, b]×(a', b']にたいして任意にとったα<μ(I)に対して、
ある有界区間J= (a*, b* ]×(a'*, b'* ] (ただし−∞< a*< b*<+∞ , −∞< a'*< b'*<+∞ )、ないし、J=φ
が存在して、
[J]⊂(−∞, b]×(a', b']=I かつ α<μ(J)
を満たす」
となるが、
I=(−∞, b]×(a', b']ならば、μ(I)=Ψ(I) =+∞ (∵μ(I),Ψ(I)の定義を見よ)
I=(−∞, b]×(a', b']にたいして任意にとったα<μ(I) =+∞とは、任意の実数あるいは−∞である。
したがって、J=φは、任意の実数α<0に対しては、「α<μ(J)」を満たすが、
0≦α<μ(I) =+∞任意の実数αに対しては、「α<μ(J)」 を満たさない。∵μ(J)=μ(φ)=0
以上から、上記の主張を証明するには、
「任意の区間(−∞, b]×(a', b'] (−∞< b<+∞, −∞< a'< b'<+∞) と、任意の実数αに対して、
ある有界区間J= (a*, b* ]×(a'*, b'* ] (ただし−∞< a*< b*<+∞, −∞< a'*< b'*<+∞ )
が存在して、
[J]=[a*, b*]×[a'*, b'*]⊂(−∞, b]×(a', b'] かつ α<μ(J)
を満たす」
を示せれば十分であるから、
以下では、この点のみを証明する。
なお、
Jは有界区間だから、μ(J)=Ψ(J) <+∞であることに注意(∵μ(I),Ψ(I)の定義を見よ)。
step
1: 区間Iを分割
下記3条件を満たす数列{ak}をとる。
1. 狭義単調減少列であること a1 > a2 > a3 >… (1-1)
2. 任意のkに対して、ak < b (1-2)
※1. 2. を合せると、…< a3 < a2< a1 < b
3. ak→−∞ (k→∞) −∞に発散 (1-3)
このような数列{ak}から数列{b−ak}をつくると、以下が成り立つ。(∵)
(1-4)
下記3条件を満たす数列{a'k}をとる。
1.狭義単調減少列であること a'1 > a'2 > a'3 >… (1-1' )
2. 任意のkに対して、a' < a'k < b' (1-2')
※1. 2. を合せると、 a'<…< a'3 < a'2< a'1 < b'
3. a'k→a' (k→∞) (1-3')
このような数列{a'k}から数列{b'−a'k}をつくると、以下が成り立つ。
任意のkに対して、b'−a'k ≧b'−a'1>0 (1-4')

step2: 区間Ikを定義
Ik=( ak , b]×( a'k , b'] とIkを定義する
つまり、I1= ( a1 , b]×( a'1 , b'] 、I2= ( a2 , b]×( a'2 , b'] 、I3= ( a3 , b]×( a'3 , b'] 、… といった具合になる。

step3: 区間Ikの性質
任意のkに対して、Ikの閉包[ Ik ]⊂Iとなる。
実際、 [ Ik ]=[ ak , b]×[ a'k , b'] ⊂ (−∞, b]×(a', b']=I …(3)
step4: μ(Ik)の値
μ()の定義より、
μ(Ik)=μ( ( ak , b]×( a'k , b'] ) = (b−ak) (b'−a'k ) …(4)
step5: 任意の実数αにたいして、kを十分大きくとれば、 α<μ(Ik)
(1-4)より数列{ b−ak}は∞に発散し、
(1-4')より数列{b'−a'k}の任意の項についてb'−a'k ≧b'−a'1>0が満たされるので、
数列{ b−ak}と数列{b'−a'k}との積の数列{ (b−ak) ( b'−a'k)}は∞に発散する。(∵)
これと(4)から、
∞に発散するの定義より、
(∀α∈R) (∃K∈N) (∀k∈N) ( k≧K⇒ μ(Ik)>α) …(5)
step6:
(5)より、
任意の実数αに対して、kを十分大きくとれば、μ(I*k)>αを満たすI*kが存在し、
このようなI*kは、
(3)より、 [ I*k ] ⊂ Iも満たす。
したがって、
任意の区間I=(−∞, b]×(a', b'] (−∞< b<+∞) と、任意の実数αに対して、
少なくとも、I*k という有界区間Jが存在して、
[J]⊂ I=(−∞, b]×(a', b'] かつ α<μ(J)
を満たすことが確認できた。
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