・関数列の一様収束についてのコーシーの判定条件/ワイエルストラスのM判定法 |
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定理 |
( 条件1) 関数列{ fn(x)}の各項f1(x), f2(x), f3(x),…がすべて閉区間[a,b]上で連続かつ (条件2) 関数列{ fn(x)}が閉区間[a,b]上で極限関数f (x)に一様収束 が成り立つ ならば、 ![]() ないし、 極限関数f (x)を、 ![]() ![]() |
[ 文献]小平『解析入門I』 5章3節a定理5.8(p.223); 小平『解析入門II』 6章3節a (p.298) 吹田新保『理工系の微分積分学』 第5章3節(p.142); 黒田『微分積分』定理7.1(p.228.); ルディン『現代解析学』7.14(p.152):スチルチェス積分のケース。 |
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そもそも、 f1(x), f2(x), f3(x),…って、積分できるの?(上の式の左辺について)条件1で、f1(x), f2(x), f3(x),…は閉区間[a,b] 上で連続。閉区間上の連続関数は積分可能だから、 f1(x), f2(x), f3(x),…は閉区間[a,b]で積分可能。 |
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※そもそも、 極限関数f (x)って、積分できるの?(上の式の右辺について)条件1で、定理より、条件2のもとでは、極限関数f (x)は閉区間[a,b] 上で連続。 閉区間上の連続関数は積分可能だから、極限関数f (x)は閉区間[a,b]で積分可能。 |
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証明 |
右に揚げた文献を参照のこと。 |
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定理 |
( 条件1) 関数列{ fn(x)}の各項f1(x), f2(x), f3(x),…がすべて閉区間[a,b]上で連続かつ (条件2) 関数列{ fn(x)}からつくった関数項級数 ![]() 閉区間[a,b]上一様収束 が成り立つ ならば、 ![]() |
[ 文献]小平『解析入門I』5章3節a(p.223); 吹田新保『理工系の微分積分学』 第5章3節(p.142); 黒田『微分積分』定理7.3(p.231.); |
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Arzela's theorem | ||
定理 |
( 条件1) 関数列{ fn(x)}の各項f1(x), f2(x), f3(x),…がすべて閉区間[a,b]上で連続かつ (条件2) 関数列{ fn(x)}が閉区間[a,b]上で 極限関数f (x)に(一様収束しなくても)各点収束する が成り立つ (条件3) 関数列{ fn(x)}が一様に有界、 すなわち、、 ![]() をすべてのnにたいして満たす、共通のMが存在 ならば、 ![]() ないし、 極限関数f (x)を、 ![]() ![]() |
[ 文献]小平『解析入門I』5章3節b定理5.10(pp.224-9):証明付; 黒田『微分積分』第7章1節(p.229.):証明略;
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ルベーク積分論におけるルベーグの項別積分定理の特殊ケース。 |
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(reference)
吹田・新保『
理工系の微分積分学』学術図書出版社、1987年、第5章3節(pp.137-9).