f(x)=logxk = k・logx(対数の性質)、g(y)=e y と置くと、 x k = g( f(x) ) と書ける。
ところで、 f ' (x)= k/x ( x>0)(対数関数の微分)、g ' (y)=e y (指数関数の微分)だから、 合成関数の微分の定理から、 x k = g( f(x) )は、x>0の範囲で微分可能で、 x0>0におけるその微分係数は、 g '( f(x0) ) f ' ( x0) = ef(x0 )・k/x = x k・k/x = k x k−1
手順1. 両辺の絶対値の対数をとる。 log|f(x)| = log| x k |
この例では、f(x)>0なので、 log f(x) = log xk log f(x) = k log x ∵対数の性質
手順2. 両辺を微分。 (log f(x) ) ' = ( k log x ) '
f ' (x)/f(x) =k/x
手順3. 整理
f ' (x)=f(x) k/x
= k x k /x ∵f(x)=x k を代入しただけ
= k x k−1