集合A,Bは交わるが、
　AはBを含まないし、BもAを含まない
　(BはAの部分集合でないし、AもBの部分集合ではない)。

・「集合A,Bは交わるが、AはBを含まず、BもAを含まない」
　「集合A,Bは交わるが、AはBの部分集合ではなく、BもAの部分集合ではない」
　　　　集合の記号で表すと、「A∩B ≠ φ かつ A含まれないB かつ A含まれないB」　　
　とは、
　　　「A⊃B」でないと同時に「A⊂B」でもないケース　- A,Bが交わる場合　
　ということ。


【活用例】近傍を用いた「境界点」定義

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「A∩B ≠ φかつ¬A⊃Bかつ¬A⊂B」 同値条件一覧


　全体集合Ωのなかで集合を考えているとき、下記表現は、互いに言い換え可能。

【表現1】 A∩B ≠ φ かつ A含まれないB かつ A含まれないB  集合A,Bは交わるが、AはBの部分集合ではなく、BもAの部分集合ではない。　
【表現2】 「A含まれないB かつ A含まれないB かつ A左は右の部分集合ではないBc 」　 集合Aは、《Aの部分集合》としてBを包含するのでなければ、《Bの部分集合》としてBに包含されるのでもないけれど、集合Aが、《Bの補集合》の部分集合になるということもない。

ないし

「B含まれないA かつ B含まれないA かつ B含まれないAc 」 集合Bは、《Aの部分集合》としてAに包含されるのでもなければ、　《Bの部分集合》としてAを包含するのでもないけれど、集合Bが、《Aの補集合》の部分集合になるということもない。
【表現3】 「∃ω∈A ω∈B」かつ「¬ ∀ω∈A ( ω∈ B )」
　かつ　
「∃ω∈B ω∈A」かつ「¬ ∀ω∈B ( ω∈ A )」		 集合Aには《集合Bに属す元》が存在するが、「すべての《集合Aに属す元》が、集合Bに属す」ことはなく、
集合Bには《集合Aに属す元》が存在するが、「すべての《集合Bに属す元》が、集合Aに属す」のではない。
【表現4】 A∩B ≠ φ かつ Ac∩B ≠ φ かつ A∩Bc ≠ φ 　 集合Aは、《集合B》《集合Bの補集合》の両方と交わり、集合Bも、《集合A》《集合Aの補集合》の両方と交わる。
【表現5】　 「∃ω∈A ω∈B」 かつ 「∃ω∈A ωの元ではない B」
　かつ　
「∃ω∈B ω∈A」 かつ 「∃ω∈B ωの元ではない A 」		 集合Aのなかには、《集合B》に属す《集合Aの元》と、《集合B》に属さない《集合Aの元》の両方が存在する。
集合Bのなかにも、《集合A》に属す《集合Bの元》と、《集合A》に属さない《集合Bの元》の両方が存在する。
【表現5'】 「∃ω∈A ω∈B」 かつ 「∃ω∈A ω∈Bc 」
　かつ　
「∃ω∈B ω∈A」 かつ 「∃ω∈B ω∈Ac 」		 集合Aのなかには、《集合B》に属す《集合Aの元》と、《Bの補集合》に属す《集合Aの元》の両方が存在する。
集合Bのなかにも、《集合A》に属す《集合Bの元》と、《Aの補集合》に属す《集合Bの元》の両方が存在する。
　　
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　　　　　　どうして、
　　　　　　【表現1】〜【表現5】を
　　　　　　言い換えてもいいの？





【表現３】　「∃ω∈A　ω∈B」かつ「¬ ∀ω∈A ( ω∈ B )」　かつ　「∃ω∈B　ω∈A」かつ「¬ ∀ω∈B ( ω∈ A )」

　　　　　集合Aには《集合Bに属す元》が存在するが、「すべての《集合Aに属す元》が、集合Bに属す」ことはなく、
　　　　　集合Bには《集合Aに属す元》が存在するが、「すべての《集合Bに属す元》が、集合Aに属す」のではない。
　
　　【例】　「∃ω∈原子力村 ω∈東大」かつ「¬ ∀ω∈原子力村 ( ω∈東大 )」　かつ　「∃ω∈東大 ω∈原子力村」かつ「¬ ∀ω∈東大 ( ω∈ 原子力村 )」　

　　　　　　原子力村には《東大所属者》がいるが、原子力村に属す者の全員が東大所属というわけではない。
　　　　　　東大にも《原子力村に属してる者》はいるが、東大所属者の全員が原子力村に属しているというわけでもない。





　　　
　　　　　　　　　　　　　　　交わるの同義表現(3-1') : 「A∩B ≠ φ」「B∩A ≠ φ」⇔「∃ω∈Ω ω∈Aかつω∈B」「∃ω∈A ω∈B」「∃ω∈B ω∈A」 、
　　　　　　　【表現1】と【表現3】は互いに言い換え可能  【どうして？】　　「A含まれないB」「B含まれないA」の同値表現1l：「A含まれないB」「B含まれないA」⇔「¬ ∀ω∈B ( ω∈ A )」、
　　　　　　　　　　　　　　　　「A含まれないB」「B含まれないA」の同値表現1l：「A含まれないB」「B含まれないA」⇔「「¬ ∀ω∈A ( ω∈ B )」







【表現4】　「A∩B ≠ φ」かつ「Ac∩B ≠ φ」かつ「A∩Bc ≠ φ」

　　　　　　集合Aは、《集合B》《集合Bの補集合》の両方と交わり、
　　　　　　集合Bも、《集合A》《集合Aの補集合》の両方と交わる。

　　【例】　「原子力村∩東大≠ φ」
　　　　　かつ　
　　　　　「原子力村c∩東大≠ φ」かつ「原子力村∩東大c≠ φ」

　　　　　原子力村は《東大》《東大の補集合》の両方と交わってて、
　　　　　東大も《原子力村》《原子力村の補集合》の両方と交わってる。






⇔


【どうして？】






【表現1】　集合A,Bは交わるが、AはBの部分集合ではなく、BもAの部分集合ではない。　
　・「A∩B ≠ φ」かつ「A含まれないB」かつ「A含まれないB」
　　　集合Aは、集合Bと交わるが、
　　　《Aの部分集合》としてBを包含するのでなければ、
　　　《Bの部分集合》としてAに包含されるのでもない。
　ないし
　・「B∩A ≠ φ」かつ「B含まれないA」かつ「B含まれないA」
　　　集合Bは、集合Aと交わるが、
　　　《Aの部分集合》としてAに包含されるのでなければ、
　　　《Bの部分集合》としてAを包含するのでもない。
【例】
　・「原子力村∩東大 ≠ φ」かつ「原子力村含まれない東大」「原子力村含まれない東大」
　　　原子力村は、確かに東大と交わっているが、
　　　原子力村が、自分の部分集合として東大を飲み込んでるわけじゃないし、
　　　原子力村が、東大の部分集合として東大に飲み込まれてるわけでもない。
　・「東大∩原子力村 ≠ φ」かつ「東大含まれない原子力村」「東大含まれない原子力村」
　　　東大は、確かに原子力村と交わっておりますが、
　　　東大が、原子力村の部分集合として原子力村の配下におさまっている訳ではございませんし、
　　　東大が、原子力村を東大の部分集合として配下におさめている訳でもございません。




















⇔



【どうして？】






【表現２】
　・「A含まれないB」かつ「A含まれないB」かつ「 A左は右の部分集合ではないBc 」　　　集合Aは、《Aの部分集合》としてBを包含するのでなければ、《Bの部分集合》としてBに包含されるのでもないけれど、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　集合Aが、《Bの補集合》にその部分集合として包含されるということもない。
　ないし
　・「B含まれないA」かつ「B含まれないA」かつ「B含まれないAc 」　　　集合Bは、《Aの部分集合》としてAに包含されるのでもなければ、　《Bの部分集合》としてAを包含するのでないけれど、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　集合Bが、《Aの補集合》にその部分集合として包含されるということもない。
【例】
　・「原子力村含まれない東大」かつ「 原子力村左は右の部分集合ではない東大」かつ「 原子力村左は右の部分集合ではない東大c 」　原子力村は、東大を部分集合として含まないし、東大に部分集合として含まれるのでもないが、原子力村は、《東大の補集合》に部分集合として含まれるということもない。
　ないし
　・「東大含まれない原子力村」かつ「東大含まれない原子力村」かつ「東大含まれない原子力村c 」　　東大は、原子力村の部分集合として原子力村の配下におさまっている訳ではございませんし、原子力村を東大の部分集合として配下におさめている訳でもございませんが、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　かといって、東大が、《原子力村の補集合》の部分集合だということではありません。






　交わるの同値表現(8)(8')：「A∩B ≠ φ」⇔「　A左は右の部分集合ではないBc　」「　Ac 部分集合として含まないB　」

「A含まれないB」「B含まれないA」の同値表現４：「A含まれないB」「B含まれないA」⇔「Ac∩B ≠ φ」
「A含まれないB」「B含まれないA」の同値表現4：「A含まれないB」「B含まれないA」⇔「A∩Bc ≠ φ」
交わるの同義表現(3-1') : 「A∩B ≠ φ」「B∩A ≠ φ」⇔「∃ω∈Ω ω∈Aかつω∈B」 「∃ω∈A ω∈B」「∃ω∈B ω∈A」 　　【どうして？】　　【表現1】と【表現5】は互いに言い換え可能　

　　 　　　「A含まれないB」「B含まれないA」の同値表現5:「A含まれないB」「B含まれないA」⇔「∃ω∈B ωの元ではない A」から。
　「A含まれないB」「B含まれないA」の同値表現5：「A含まれないB」「B含まれないA」⇔「∃ω∈A ωの元ではないB」から。
　






【表現５】　　「∃ω∈A ω∈B」 かつ 「∃ω∈A ωの元ではない B」　かつ　「∃ω∈B ω∈A」かつ「∃ω∈B ωの元ではない A 」
　　　　　　集合Aのなかには、《集合B》に属す《集合Aの元》と、《集合B》に属さない《集合Aの元》の両方が存在する。
　　　　　　集合Bのなかにも、《集合A》に属す《集合Bの元》と、《集合A》に属さない《集合Bの元》の両方が存在する。

　　【例】　　「∃ω∈原子力村 ω∈東大」かつ「∃ω∈原子力村 ( ωの元ではない 東大 )」　かつ　「∃ω∈東大 ω∈原子力村」かつ「∃ω∈東大 ( ωの元ではない 原子力村 )」
　　　　　　　　原子力村には、《東大所属者》《東大非所属者》の両方がいる。東大にも、《原子力村所属者》《原子力村非所属者》の両方がいる。








　　　　　　　【表現5】と【表現5'】は互いに言い換え可能　【どうして？】　　　「補集合に属す」の同値条件にしたがっ て、「ω属さないA」と「ω∈Ac」、「ω属さないB」と「ω∈Bc」を、互いに言い換えてよいから、








【表現5'】　　「∃ω∈A ω∈B」 かつ 「∃ω∈A ω∈Bc 」　かつ　「∃ω∈B ω∈A」かつ「∃ω∈B ω∈Ac 」
　　　　　　集合Aのなかには、《集合B》に属す《集合Aの元》と、《Bの補集合》に属す《集合Aの元》の両方が存在する。
　　　　　　集合Bのなかにも、《集合A》に属す《集合Bの元》と、《Aの補集合》に属す《集合Bの元》の両方が存在する。
　　　　　　
　　【例】　　「∃ω∈原子力村 ω∈東大」かつ「∃ω∈原子力村 ω∈東大c 」　かつ　「∃ω∈東大 ω∈原子力村」かつ「∃ω∈東大 ω∈原子力村c  」
　　　　　　　　原子力村には、《東大所属者》《東大の補集合所属者》の両方がいる。東大には、《原子力村所属者》《原子力村の補集合所属者》の両方がいる。