f (x),g (x)が区間Dで微分可能ならば、g (x)≠0であるようなx∈Dに対して、f (x) / g (x)も区間Dで微分可能で以下が成り立つ。
( f (x) / g (x) )’= { f ' (x) g (x) −f (x) g' (x) } / g 2 (x)
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k (x) =f (x) / g (x) とおく。 …(1)
微分可能性と連続の関係についての定理から、g (x) が区間Dで微分可能ならば、その区間で連続である。
ゆえに、連続の定義から、 …(2)
だから、g (x)≠0であるようなx∈Dに対しては、 …(3)
x0∈Dにおける微分係数
k’(x0)
∵微分係数の定義
∵(1)
∵−f (x0) g (x0) +f (x0) g (x0)=0
∵関数の積の極限値
∵関数の和の極限値
∵関数の積の極限値
∵(2)
={1/ g (x0) }2 { g (x0) f ' (x0) −f (x0) g ' (x0) ∵微分係数の定義
= { f ' (x0) g (x0) −f (x0) g ' (x0) } / g 2 (x0)
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