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定理：対数関数logarithm functionの微分

・対数関数 logarithm function 一般の微分：
　　　( logax ) ' = logae /x = 1 / ( x loga ) 　(ただし、x＞０)　　

・自然対数関数 natural logarithm function の微分：
　　　( logx ) ' =1/x　　　　(ただし、x＞０)　


【文献】

　・『解析概論』pp.45-46
　・矢野・田代『社会科学者のための基礎数学』p.83
　・高橋『経済学とファイナンスのための数学』p.55
　・『微分積分』pp.60-62;


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証明1

　　[矢野・田代『社会科学者のための基礎数学』p.83;『微分積分』pp.60-62; ]　　
　　　　f(x) = logax 　とおく。　　　　　
　　　　x =x0>0における微分係数
　　　　　　f ’ (x0)　
　　　　　　　　　　　　　　　∵微分係数の定義　　　
　　　　　　　　
　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　∵対数の性質　　
　　　　　　　　　　　　　　　　∵x0/ x0=1だから、かけても変わらない。　　
　　　　　　　　　　　　　　　　xと1の位置を交換しただけ　　
　　　　　　　　　　　　　　∵対数の性質　　　
　　　　　　　　　
　　　　　　　ここで、t=x0/hとおく。すると、
　　　　　　　　　(i) 　h→＋0で(h>0でのh→0)、t→　∞　　
　　　　　　　　　(ii)　h→−0で(h<0でのh→0)、 t→−∞　
　　　　　　　ゆえに、 (i) 　h →＋0では、
　　　　　　f’(x0)　
　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　logae 　　　　　　　　　∵定理　　
　　　　　　　一方、(ii)　h→−0では、
　　　　　　f’(x0)　
　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　logae 　　　　　　　　　　　　∵定理　　
　　　したがって、いずれにせよ、
　　　　　　f’(x0)　
　　　　　　　　logae 　　　
　　　なお、a=eのとき、すなわち、f(x) = logx = logex 　　では、
　　　　　　f’(x0)　
　　　　　　　logae 　

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(証明2：指数関数の逆関数として導く証明)

　　　　[『解析概論』pp.45-46.高橋『経済学とファイナンスのための数学』55]

　　y = f (x) = ex とする。定義域は実数全体だが、値域は正の実数全体。
　　この逆関数は、x = f −１ (y)= log y　ただし、y >0.
　　したがって、y = y0 >0におけるf −１ (y) = log yの微分係数は、
　　(log y0 )’= f −１’(y0) = 1／f ’(　f −１(y0)　) 　∵逆関数の微分dx / dy = １/( dy / dx )　　
　　　　　　　= 1／f ’(　log y0　)　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∵指数関数の微分( e x )' = e x　　
　　　　　　　＝1/y0　　
　　∴　( logx )'=1/x　( x > 0 )　　　

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