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定理:対数関数logarithm functionの微分

・対数関数 logarithm function 一般の微分:
   ( logax ) ' = logae /x = 1 / ( x loga )  (ただし、x>0)  

・自然対数関数 natural logarithm function の微分:
   ( logx ) ' =1/x    (ただし、x>0) 


【文献】

 ・『解析概論pp.45-46
 ・矢野・田代『社会科学者のための基礎数学p.83
 ・高橋『経済学とファイナンスのための数学p.55
 ・『微分積分』pp.60-62;


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証明1

  [矢野・田代『社会科学者のための基礎数学』p.83;『微分積分』pp.60-62; ]  


    f(x) = logax  とおく。     
    x =x0>0における微分係数
      f ’ (x0) 
               ∵微分係数の定義   
        
        
                ∵対数の性質  
                ∵x0/ x0=1だから、かけても変わらない。  
                xと1の位置を交換しただけ  
              ∵対数の性質   
         
       ここで、t=x0/hとおく。すると、
         (i)  h→+0で(h>0でのh→0)、t→ ∞  
         (ii) h→−0で(h<0でのh→0)、 t→−∞ 
       ゆえに、 (i)  h →+0では、
      f(x0) 
         
           
                  
       logae          ∵定理  
       一方、(ii) h→−0では、
      f(x0) 
                
                 
                  
       logae             ∵定理  
   したがって、いずれにせよ、
      f(x0) 
        logae    
   なお、a=eのとき、すなわち、f(x) = logx = logex   では、
      f(x0) 
       logae  


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(証明2:指数関数の逆関数として導く証明)

    [『解析概論』pp.45-46.高橋『経済学とファイナンスのための数学』55]

  y = f (x) = ex とする。定義域は実数全体だが、値域は正の実数全体。
  この逆関数は、x = f −1 (y)= log y ただし、y >0.
  したがって、y = y0 >0におけるf −1 (y) = log yの微分係数は、
  (log y0 )’= f −1(y0) = 1f ( f −1(y0) )  ∵逆関数の微分dx / dy = /( dy / dx )  
       
= 1f ( log y0 )      
                    ∵指数関数の微分( e x )' = e x  
       =
1/y0  
  ∴ 
( logx )'=1/x ( x > 0 )   


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