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定理：k次関数の微分 [kが整数である場合]

　任意の整数kにたいして、( x k ) ' = kxk-1　

　※ kが実数全体の場合は、x＞０でのみ定義される。
　　　　kが分数(1/q)の場合、xのq乗根を考えなければならなくなることを、想起せよ。　[基礎解析p.43] 　

【文献】

　・吹田・新保『理工系の微分積分学』p.37.
　・高橋『経済学とファイナンスのための数学』p.50
　・『微分積分』pp.49-68;55

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証明1　:　数学的帰納法による証明

　　　[文献]『微分積分』pp.49-68;55　　

( x k ) ' = kxk-1　…①　　の成り立つことを数学的帰納法で証明する。

　　（１）　kが正の整数のとき
　　　　　　(i)　k =1のとき、　①の左辺＝( x１) ' =1　←要証明

　　　　　　　　　　　　　①の右辺＝1。　ゆえに、①は成立。

　　　　　　(ii)　k = n のときに、①が成り立つと仮定すると、　(x n ) ' = n xn-1　…②　

　　　　(iii)　k = nのときに①が成り立つと仮定すると、　
　　　　　　　　(x n＋1 ) ' =( x n ・x ) ' =( x n ) ' x＋xn ( x ) ' 　　　∵関数の積の微分　　　
　　　　　　　　　　　　= n x n-1・x＋xn・1　　　　∵②(k =nのときに①が成立との仮定より)
　　　　　　　　　　　　= n xn＋xn
　　　　　　　　　　　　＝(n＋1) xn　　　　　　　　　
　　　　　　　ゆえに、k = nのときに、①が成り立つと仮定すれば、
　　　　　　　k = n＋1のときも、①が成り立つ。
　　　　以上から、①は全ての正の整数kに対して成り立つ。

　　（２）kが負の整数のとき　
　　　　k＝－l　とおく。このとき、lは正の整数。　　　
　　　　(x k ) ' =(x－l ) ' = (1／xl ) ' 　　　　
　　　　　　　　　　　　　∵関数の商の微分　　
　　　　　　　　　　　　　　∵lは正の整数なので( x l ) ' に対して (1)の検討の結果を使える。　　
　　　　　　　= －lx－l－1 　　　　
　　　　　　　= k x k－1 　　　　
　　　　　よって、kが負の整数でも①は成り立つ。　　
　　（３）k＝０のとき　
　　　　①の左辺＝(x０ ) '＝(１) '＝０　∵定数の微分　　
　　　　①の右辺＝０・ x -1 ＝０ 　　
　　　　ゆえに、k＝０のときも、①は成立する。
　　よって、任意の整数kに対して①は成立する。　

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(証明2：二項定理を用いた証明)　

　　　　　　　[吹田・新保『理工系の微分積分学』p.37.高橋『経済学とファイナンスのための数学』p.50]
　　　　f(x) = x k 　とおく。　　　　　
　　　　f ' (x) 　　　　　　　　　∵微分係数の定義　　　
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　∵二項定理　　
　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　∵ nC0=1
　　　　　　　　
　　　　　　　　　　
　　　　　　　（ kC1 xk-1＋kC2 xk-2h＋…＋kCk xk-khk-1）　
　　　　　　　= kC1 xk-1　　　
 　　　　　　　＝ k xk-1　　
　

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