R²上の区間塊の面積を定義する集合関数μ( )の性質4の証明−ケース1-1　
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・舞台設定　
　R²　　　　：　2つの「実数の全体の集合」Rの直積。すなわち、
　　　　　　　　　　　R×R＝{ (x ,y ) |x ∈ Rかつ y ∈ R }＝{ (x ,y ) | −∞<x<＋∞かつ −∞<y<＋∞ }　
　集合系(族)E　：　R²上の区間塊として考えられ得るものすべてを集めてきた集合系(族)。
　　　　　　　　　　　　　※区間塊Eは、R²の部分集合だから、Eは R²の部分集合系(族)となっている。
　Ψ(I) 　　　：　R²上の区間の面積を定義する集合関数Ψ。
　　　　　　　　すなわち、
　　　　　　　　　　type 1: 左半開区間(a, b] ={ x | a<x≦b }　(ただし−∞< a< b<＋∞),
　　　　　　　　　　type 2: (−∞, b] ={ x | x≦b }　(ただし−∞< b<＋∞)、
　　　　　　　　　　type 3: (a , ∞) ={ x | a<x }　(ただし−∞< a <＋∞)、
　　　　　　　　　　type 4: (−∞, ∞)=実数全体の集合R　
　　　　　　　　　　type 5: 空集合φ 　　　
　　　　　　　　のいずれかのかたちのR上区間の直積となるR²上区間Iに対して、
　　　　　　　(i) I＝(a, b]×(a', b']　(−∞< a< b<＋∞, −∞< a'< b'<＋∞)ならば、Ψ(I) =( b−a ) (b'−a' )　
　　　　　　　(ii)　I=φならば、　Ψ(φ) = 0　　
　　　　　　　(iii)　Iが上記以外〜つまり、(−∞, b]×(a' , ∞)など非有界の矩形〜ならば、
　　　　　　　　　　Ψ(I) =＋∞　　　
　　　　　　　※値域は、広義の実数R^*上の区間[0, ＋∞]となる。
　　　　　　　　「広義の実数」では、実数における演算が拡張されているので（特に＋∞について）注意。
・集合関数μの定義　
　Eに属す、すべてのEは、R²上の区間塊であるから、　
　　　　　　　type 1: 左半開区間(a, b]={ x | a<x≦b }　(ただし−∞< a< b<＋∞),
　　　　　　　type 2: (−∞, b]={ x | x≦b }　(ただし−∞< b<＋∞)、
　　　　　　　type 3: (a , ∞)={ x | a<x }　(ただし−∞< a <＋∞)、
　　　　　　　type 4: (−∞, ∞)=実数全体の集合R　
　　　　　　　type 5: 空集合φ 　
　のいずれかのかたちの区間の直積の有限個の直和として表す
　（＝互いに素な有限個の「上記５タイプの区間の直積」へ分割する）
　ことができる。　　
　すなわち、
　Eに属す、すべてのEには常に、
　　　1以上の或る自然数nが存在して、
　　　E= I₁＋…＋I_n　（ただし、I₁,…,I_nは、上記5タイプいずれかの区間の直積で、互いに素）
　と表せる。※自然数nは1以上とわざわざことわったのは、E= I₁というケースも当然ありうるという意味。
　そこで、面積を定義する集合関数Ψを用いて、　
　μ(E)=Ψ(I₁)＋Ψ(I₂)＋…＋Ψ(I_n)　
　と、　R²上の区間塊Eの面積を定義する集合関数μを定義する。　

[μ( )の性質4]　

　　type 1: 左半開区間(a, b]　(ただし−∞< a< b<＋∞),
　　type 2: (−∞, b]　(ただし−∞< b<＋∞)、
　　type 3: (a , ∞)　(ただし−∞< a <＋∞)、
　　type 4: (−∞, ∞)　
　　type 5: 空集合φ 　

のいずれかのかたちのR上区間の直積である限りで任意の区間Iと、
区間Iにたいして任意にとったα<μ(I)にたいして、

　　(a^*, b^* ]×(a'^*, b'^* ]　(ただし−∞< a^*< b^*<＋∞ , −∞< a'^*< b'^*<＋∞ )
　　空集合φ 　　　

のいずれかのかたちをした、ある有界区間Jが存在し、
　　　　　[J]⊂I　かつ　α<μ(J)　
を満たす。
すなわち、
　(a, b] , (−∞, b] , (a , ∞) , (−∞, ∞) , φのいずれかのかたちのR上区間の直積をすべて集めた集合系をI、
　(a^*, b^* ]×(a'^*, b'^* ], φのいずれかのかたちをした区間をすべて集めた集合系をJとおくと、

　　　　　　(∀I∈I) (∀α<μ(I)) (∃J∈J ) ( [J]⊂Iかつα<μ(J) )　　　　

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[μ( )の性質4の証明−ケース1-1]　[伊藤『ルベーグ積分』I-§4有限加法的測度:定理4.2証明内(p. 20);]

[case1-1:　区間Iが、type 1:(a, b]×(a', b']　(−∞< a< b<＋∞, −∞< a'< b'<＋∞)というかたちをしている場合]　

case1-1-step0:証明すべき主張の分析
この場合、上記の主張は、
　　「任意の区間I=(a, b]×(a', b']　(−∞< a< b<＋∞, −∞< a'< b'<＋∞)　と、
　　　このI=(a, b]×(a', b']にたいして任意にとったα<μ(I) = (b−a) (b'−a' ) に対して、　
　　　ある有界区間J= (a^*, b^* ]×(a'^*, b'^* ]　(ただし−∞< a^*< b^*<＋∞ , −∞< a'^*< b'^*<＋∞ )、ないし、J=φ 　　　
　　　が存在して、
　　　　　[J]⊂(a, b]×(a', b']　かつ　α<μ(J)　
　　　を満たす。」
となるが、
−∞< a< b<＋∞,−∞< a'< b'<＋∞のもとで、μ((a, b])=(b−a) (b'−a' ) >0。
ゆえに、任意のα<μ(I)は、正の値もとり得る。
J=φは、任意のα<0に対しては、α<μ(J)を満すが、
任意のα>0に対しては、α<μ(J)を満たさない。∵μ(J)=μ(φ)=0だから。
つまり、J=φは、任意のα<μ(I)に対しては、必ずしも、α<μ(J)を満たさない。
上記の命題を証明するには、
　　「任意の区間I=(a, b]×(a', b']　(−∞< a< b<＋∞, −∞< a'< b'<＋∞)　と、
　　　このI=(a, b]×(a', b']にたいして任意にとったα<μ(I) = (b−a) (b'−a' ) に対して、　
　　　　ある有界区間　J= (a^*, b^* ]×(a'^*, b'^* ]　(ただし−∞< a^*< b^*<＋∞, −∞< a'^*< b'^*<＋∞ )
　　　が存在して、
　　　　　[J]=[a^*, b^*]×[a'^*, b'^*]⊂(a, b]×(a', b']　かつ　α<μ(J) =(b^*−a^*) (b'^*−a'^* )　
　　　を満たす。」
　　　つまり、
　　「−∞< a< b<＋∞,−∞< a'< b'<＋∞を満たす限りで任意の実数a, b, a', b'と、任意のα< (b−a) (b'−a' )に対して、
　　　　ある実数a^*, b^*　(−∞< a^*< b^*<＋∞)、実数a'^*, b'^*　(−∞< a'^*< b'^*<＋∞)が存在して、　
　　　　a<a^*< b^*≦b　かつ　a'<a'^*< b'^*≦b'　かつ　α< (b^*−a^*) (b'^*−a'^* )　
　　　を満たす。」
を示せば十分であるから、

case1-1-step1:　区間Iを分割　　　
　下記3条件を満たす数列{a_k}をとる。
　　　1.狭義単調減少列であること　　a₁ > a₂ > a₃ >…　　(1-1-1)　　
　　　2.　任意のkに対して、a < a_k < b　　　　　　　　(1-1-2)　
　　　　　※1. 2. を合せると、　a<…< a₃ < a₂< a₁ < b　
　　　3.　a_k→a　(k→∞)　　　　　　　　　　　　　　　(1-1-3)　　
　このような数列{a_k}をとると、以下が成り立つ。
　　　　　　∵(1-1-3):a_kの収束より、極限の和の公式を適用
　　　　　　　　　　=b−a　　∵(1-1-3)　　　　　　　(1-1-4)　　　　
　下記3条件を満たす数列{a'_k}をとる。
　　　1.狭義単調減少列であること　　a'₁ > a'₂ > a'₃ >…　　(1-1-1' )　　
　　　2.　任意のkに対して、a' < a'_k < b'　　　　　　　　(1-1-2')　
　　　　　※1. 2. を合せると、　a'<…< a₃ < a₂< a₁ < b'　
　　　3.　a'_k→a'　(k→∞)　　　　　　　　　　　　　　　(1-1-3')　　
　このような数列{a'_k}をとると、以下が成り立つ。
　　　　　∵(1-1-3'):a'_kの収束より、極限の和の公式を適用
　　　　　　　　　=b'−a'　　∵(1-1-3')　　　　　　　　(1-1-4')　　　
　　
case1-1-step2:　区間I_kを定義　　　
　I_k=( a_k , b]×( a'_k , b']　とI_kを定義する　
　　　つまり、I₁= ( a₁ , b]×( a'₁ , b'] 、I₂= ( a₂ , b]×( a'₂ , b'] 、I₃= ( a₃ , b]×( a'₃ , b'] 、… といった具合になる。
　　
case1-1-step3:　区間I_kの性質　　　
　任意のkに対して、I_kの閉包[ I_k ]⊂Iとなる。　
　　　　実際、任意のkに対して、[ I_k ]=[a_k , b]×[a'_k , b' ]　であり、
　　　　(1-1-2) (1-1-2')より、a < a_k < b、a' < a'_k < b'だから、
　　　　　　[ I_k ]=[ a_k , b]×[a'_k , b' ] ⊂ (a, b]×( a' , b']=I　　　…(1-3)　
case1-1-step4:　μ(I_k)の値　　　
　μ( )の定義より、
　μ(I_k)=μ( ( a_k , b]×[a'_k , b' ] ) = ( b−a_k) ( b'−a'_k )　　　…(1-4)
case1-1-step5:　数列{ μ(I₁), μ(I₂), μ(I₃) ,…}の極限値を求める　　
　　　　∵(1-4)　
　　　　　　∵(1-1-4) (1-1-4'):b−a_k,b−a'_kの収束より極限の積の公式を適用
　　　　　= ( b−a) ( b'−a' )　　　　　　　∵(1-1-4) (1-1-4')
　　　　　=μ((a, b]×(a', b']) =μ(I)　　　　　　　　∵μ( )の定義　
つまり、
　μ(I_k)→μ(I)　(k→∞)　　
これを、数列の極限の定義にしたがって書き下すと、
(∀ε>0) (∃K∈N) (∀k∈N) ( k≧K⇒ μ(I)−ε < μ(I_k) < μ(I)＋ε　)　…(1-5)
case1-1-step6:　区間Iにたいして任意にとったα<μ(I)にたいして、kを十分大きくとれば、　α<μ(I_k)　　　　
α=μ(I)−εとおくと、（1-5）は、
(∀ε>0) (∃K∈N) (∀k∈N) ( k≧K⇒ α< μ(I_k) < α＋2ε　)　…(1-6-1)
である。
(1-6-1)のうち、ここで興味のあるところだけにスポットライトをあてると、
(∀ε>0) (∃K∈N) (∀k∈N) ( k≧K⇒ α< μ(I_k)　)　、ただし、α=μ(I)−ε　　…(1-6-2)
ところで、εは、任意の正数で、α=μ(I)−ε　だから、αは、α<μ(I)を満たす限りで任意のαである。
すると、(1-6-2)を次のように書き換えても同じことである。
(∀α<μ(I)) (∃K∈N) (∀k∈N) ( k≧K⇒ α< μ(I_k)　)　…(1-6-3)

　(1-6-3)より、任意のα<μ(I)に対して、kを十分大きくとれば、α< μ(I_k)をみたすI_k=(a^*_k , b]×( a'^*_k , b']が存在し、
　このようなI^*_kは、
　(1-3)より、　[ I^*_k ] ⊂ Iも満たす。　　

したがって、
任意の区間I=(a, b]×( a' , b']　と、
このI=(a, b]×( a' , b']にたいして任意にとったα<μ(I)=μ((a, b]×( a' , b'])=(b−a) (b'−a' ) に対して、　
I^*_k=(a^*_k , b]×( a'^*_k , b']という
ある有界区間　J= (a^*, b^* ]×(a'^*, b'^* ]　(ただし−∞< a^*< b^*<＋∞, −∞< a'^*< b'^*<＋∞ )が存在して、
　　　　　[J]⊂(a, b]×( a' , b']=I　かつ　α<μ(J)　
を満たすことが確認できた。

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