確率変数の独立性
cf. 事象の独立性
確率空間(probability space):
X:Ω→R1とする確率変数、Y:Ω→R1とする確率変数、とする。
(定義)
X‖Y
⇔
{ω∈Ω|X (ω) ∈A } ‖ {ω∈Ω|Y (ω) ∈B } for ∀A,B∈
(解釈)
二つの
確率変数XとYについて、すべてのA,B∈事象
X−1(A)={ω∈Ω|X (ω) ∈A }と事象
Y−1 (B)={ω∈Ω|Y (ω) ∈B}とが独立であるとき、
確率変数XとYとは独立であるという。
XとYとは独立であることの必要十分条件
X‖Y ⇔ {ω∈Ω|X (ω) ∈A } ‖ {ω∈Ω|Y (ω) ∈B } for ∀A,B∈
⇔
P( {ω∈Ω|X (ω) ∈A, Y (ω) ∈B )=P( {ω∈Ω|X (ω) ∈A } )・P( {ω∈Ω|Y (ω) ∈B } )
for ∀A,B∈
⇔
PXY ( A×B )=PX ( A ) PY ( B ) for ∀A,B∈
証明:
事象の独立の定義より、
事象
C‖事象D ⇔ P(C∩D)=P(C)P(D) (*)ここで、
{ω∈Ω|X (ω) ∈A }を事象Cとして、{ω∈Ω|Y (ω) ∈B }を事象Dとして、(*)を適用すると、
{ω∈Ω|X (ω) ∈A } ‖ {ω∈Ω|Y (ω) ∈B } for ∀A,B∈
⇔
P( {ω∈Ω|X (ω) ∈A } ∩ {ω∈Ω|Y (ω) ∈B } )
=P( {ω∈Ω|X (ω) ∈A } )・P( {ω∈Ω|Y (ω) ∈B } )
for ∀A,B∈
⇔
PXY ( A×B )=PX ( A ) PY ( B ) for ∀A,B∈
∵
確率分布の定義
※ 略記法
{ω∈Ω| a<X(ω)≦b}は{ a<X≦b }
{ω∈Ω| X (ω) ∈B }は{ X∈B }
などと略記される。
野田・宮岡『数理統計学の基礎』p15.
・
確率変数X‖Y 、・
g , h : R 1 → R 1 :Borel可測(連続関数)⇒
g ( X ) ‖ h ( Y )
(証明)
仮定
1: X‖Y仮定2:
g , h : R 1 → R 1 : Borel可測 (連続関数)仮定3: ∀
A,B∈
W=g(X),Z=h(Y)とおく。このときW,Zも確率変数となる(定理)。
PWZ(A×B)=P( {ω∈Ω|W(ω)∈A, Z(ω)∈B} ) ∵確率分布の定義
=
P( {ω∈Ω|g(X(ω))∈A, h (Y(ω))∈B} ) ∵W= g(X),Z= h (Y)=
P( {ω∈Ω|X(ω)∈g−1(A), Y(ω)∈h−1(B) } )=
PXY(g−1(A)×h−1(B)) ∵仮定2,3より、g−1( A )∈ゆえに、先の式は
Xの確率分布の定義に合致する。
=
PX (g−1(A))・PY (h−1(B)) ∵仮定1より確率変数間の独立の必要十分条件を適用= PW(A)・PZ(B) ∵確率変数の関数の確率分布
※ 略記法
{ω∈Ω| a<X(ω)≦b}は{ a<X≦b }
{ω∈Ω| X (ω)∈B}は{ X∈B }
などと略記される。
野田・宮岡『数理統計学の基礎』p15.
(
reference)文献
1.『岩波数学辞典(第三版)』項目47C(p.128).文献
2.文献
3. 鈴木武・山田作太郎『数理統計学―基礎から学ぶデータ解析―(第二版)』内田老鶴圃、1998年、pp. 35-41。文献
4. 柳川堯『統計数学』近代科学社、1990年,pp.21-23.文献
5. 野田一雄・宮岡悦良『数理統計学の基礎』共立出版、1992年、pp.38-42。