cf. 事象の独立性

　確率空間(probability space)：　

　X:Ω→R¹とする確率変数、Y:Ω→R¹とする確率変数、とする。

　　　X‖Y　

　　　　⇔　{ω∈Ω｜X (ω) ∈A }　‖　{ω∈Ω｜Y (ω) ∈B }　for ∀A,B∈　

　　　　二つの確率変数XとYについて、すべてのA,B∈にたいし、

　　　　事象X⁻¹(A)={ω∈Ω｜X (ω) ∈A }と

　　　　事象Y⁻¹ (B)={ω∈Ω｜Y (ω) ∈B}とが

　　　　独立であるとき、

　　　　確率変数XとYとは独立であるという。

　　（定理）確率変数XとYとは独立であることの必要十分条件

　　　　X‖Y　⇔　{ω∈Ω｜X (ω) ∈A }　‖　{ω∈Ω｜Y (ω) ∈B }　for ∀A,B∈　

　　　　P( {ω∈Ω｜X (ω) ∈A, Y (ω) ∈B )＝P( {ω∈Ω｜X (ω) ∈A } )・P( {ω∈Ω｜Y (ω) ∈B } )

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　for ∀A,B∈　

　　　　⇔　P^XY ( A×B )＝P^X ( A ) P^Y ( B )　for ∀A,B∈　

　　　　事象の独立の定義より、

　　　　　　　事象C‖事象D　⇔　P(C∩D)=P(C)P(D)　　　　(＊)

　　　　ここで、{ω∈Ω｜X (ω) ∈A }を事象Cとして、

　　　　　　　　　{ω∈Ω｜Y (ω) ∈B }を事象Ｄとして、(＊)を適用すると、

　　　　{ω∈Ω｜X (ω) ∈A } ‖ {ω∈Ω｜Y (ω) ∈B }　for ∀A,B∈　

　　　　P（　{ω∈Ω｜X (ω) ∈A }　∩　{ω∈Ω｜Y (ω) ∈B }　）

　　　　　=P（　{ω∈Ω｜X (ω) ∈A }　）・P（　{ω∈Ω｜Y (ω) ∈B }　）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　for ∀A,B∈　

　　　　P^XY ( A×B )＝P^X ( A ) P^Y ( B )　for ∀A,B∈　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∵確率分布の定義

　　　　　　{ω∈Ω｜ a＜X(ω)≦b}は{ a＜X≦b }

　　　　　　{ω∈Ω｜ X (ω) ∈B }は{ X∈B }

　　　　　　　　　　　野田・宮岡『数理統計学の基礎』p15.

　　・確率変数X‖Y　、

　　・g , h : R ¹ → R ¹　:Borel可測(連続関数)

　　⇒　g ( X ) ‖ h ( Y )　

　仮定1：　X‖Y　

　仮定２：　g , h : R ¹ → R ¹　: Borel可測 (連続関数)

　仮定３：　∀A,B∈

　W=g(X),Z=h(Y)とおく。このときW,Zも確率変数となる（定理）。

　P^WZ(A×B)=P( {ω∈Ω｜W(ω)∈A, Z(ω)∈B} )　　　　∵確率分布の定義

　　　＝P( {ω∈Ω｜g(X(ω))∈A, h (Y(ω))∈B} )　∵W= g(X),Z= h (Y)

　　　＝P( {ω∈Ω｜X(ω)∈g^−１(A), Y(ω)∈h^−１(B) } )

　　　＝P^XY(g^−１(A)×h^−１(B))　　　　∵仮定2,3より、g^−１( A )∈、h^−１( B )∈

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Xの確率分布の定義に合致する。

　　　＝P^X (g^−１(A))・P^Y (h^−１(B))　　　∵仮定1より確率変数間の独立の必要十分条件を適用

　　　= P^W(A)・P^Z(B)　　　　　　　　∵確率変数の関数の確率分布

　　　　　　{ω∈Ω｜ a＜X(ω)≦b}は{ a＜X≦b }

　　　　　　{ω∈Ω｜ X (ω)∈B}は{ X∈B }

　　　　　　　　　　　野田・宮岡『数理統計学の基礎』p15.

（reference）

文献1.『岩波数学辞典（第三版）』項目47C(p.128).

文献2.

文献3. 鈴木武・山田作太郎『数理統計学―基礎から学ぶデータ解析―（第二版）』内田老鶴圃、1998年、pp. 35-41。

文献4. 柳川堯『統計数学』近代科学社、1990年,pp.21-23.

文献5. 野田一雄・宮岡悦良『数理統計学の基礎』共立出版、1992年、pp.38-42。