確率変数(random variable)

　　おおよその意味：R ¹およびR ⁿのσ加法族。

　(引用集)

　　鈴木・山田『数理統計学（第二版）』p.21.

　　　　Rⁿのボレル集合族　：

　　　　　「R ⁿのすべての区間を含む最小のσ加法族」

　　柳川『統計数学』p.12.

　　　　Rのボレル集合族　：

　　　　　「R上の区間(a,b]全体からなる集合を含む最小のσ加法族が存在する。

　　野田・宮岡『数理統計学の基礎』pｐ.3-4

　　　　　　「n次元ユークリッド空間R ⁿ = {( x₁, x₂, …,x_n )|x_i∈ R (i=1,2,…n)}において、

　　　　　　　−∞≦a_i≦b_i≦∞(i=1,2,…n)について、

　　　　　　　　　　I=(a₁, b₁]×…×(a _n, b_n]={( x₁, x₂, …,x_n )| a _i< x_i ≦b_i (i=1,2,…n)}　

　　　　　　　なるかたちの集合IをR ⁿにおける区間(interval)とよぶ。

　　　　　　　　ただし、bi=∞の場合には、上述の表現における不等式

　　　　　　　　　　a _i< x_i≦b_i

　　　　　　　　　　a _i< x_I<∞

　　　　「I_n」：

　　　　　　　このような区間の全体をI_nと記す。

　　　　「ボレル集合族(Borel Family of sets)/ボレル集合体(Borel field)/ボレル代数(Borel algebra)」：

　　　　　　「(1.1.4)によって、R ⁿにおいて、I_nを含む最小のσ加法族

　　　　「ボレル集合 (Borel set)」：

　　　　　　に属す集合はボレル集合(Borel set)という。

　　　　　　開区間、閉区間、n次元球、1点のみからなる集合、可算個の点からなる集合などは

　　佐藤『はじめての確率論　測度から確率へ』pp.11-15.

　　　　定義：ボレル集合体 (p.13)

　　　　「E=(E,d)を距離空間、OをEの開部分集合全体からなる集合族とする。

　　　　　Oから生成されるE上のσ集合体Ｂ(E)≡σ(O)をE上のボレル集合体、

　　　　　Eの部分集合でＢ(E)に属するものをEのボレル集合という。」

　　　　補題2.3(pp.13-14)

　　　　「Eを距離空間とする。

　　　　　Eの開部分集合、閉部分集合、コンパクト部分集合、可算集合、有限集合は

　　　　　すべてEのボレル部分集合である。」

　　　　定義：ｄ次元ボレル集合体(pp.14-15)

　　　　「特に重要なのはEがd次元ユークリッド空間R^dの場合である。

　　　　　上のR^d上のボレル集合体Ｂ(R^d)を簡単のためB_dと書き、d次元ボレル集合体、

　　　　　またB_dに属するR^dの部分集合をd次元ボレル集合という」

　　　　補題2.4 (p.14)

　　　　J_d≡{　( a₁, b₁ ]×…×( a_d , b_d ]⊂R^d：−∞≦a_k≦b_k≦∞, k=1,2,…d }

　　　　と定義するとB_dはJ_dから生成されるR^d上のσ集合体である。すなわち、

　　　　　　　　B_d＝σ[ J_d ]

　　　　ただし、上の定義で(a,+∞]は(a,+∞)をあらわすものとする。

　　・を確率空間(probability space)としたとき、

　　　　　Ω上の実数値関数 X(ω) が

　　　　　　　X⁻¹ (B)∈　,for　∀B∈　

　　　　　⇔　Xは

　　・を確率空間(probability space)としたとき、

　　　　　Ω上の実数値関数 X(ω) が

　　　　　　　　X⁻¹ (B)∈　,for　∀B∈　

　　　　　⇔　Xは

　　　　※　X⁻¹(B) ≡　{　ω∈Ω　|　X(ω)∈B　} 　をBの「逆像」という。

　　　　　　　　{ω∈Ω| a＜X(ω)≦b }は{ a＜X≦b }

　　　　　　　　{ω∈Ω| X (ω)∈B }は{ X∈B }

　　　　　　　　　　　　野田・宮岡『数理統計学の基礎』p15.

　　標本空間Ω上の関数を、確率変数(random variable)という。

　　標本空間Ω上の関数を、確率ベクトル(random vector)という。

　　を確率空間(probability space)とする。
　　　　　Xは標本空間Ω上の確率変数(random variable)

　　　　　⇔　X⁻¹ (　(−∞,a ]　) ≡{ω∈Ω　|　−∞＜X(ω)≦a}∈　,for　∀a∈R¹　

　　　　　　どんな風に実数aを与えてやっても (−∞,a ]の逆像がΩ上のσ集合族に属す。

　　　　※∀a∈R¹：「どんな風に実数aを与えてやっても」というところがポイント。

　　　　　　{ω∈Ω| a＜X(ω)≦b }は{ a＜X≦b }

　　　　　　{ω∈Ω| X (ω)∈B }は{ X∈B }

　　　　　　　　　　　　　　　　　野田・宮岡『数理統計学の基礎』p15.

　　を確率空間(probability space)とする。

　　　　　　　X⁻¹ (　(−∞,a ]　) ≡{ω∈Ω　|　−∞＜X(ω)≦a}∈　,for　∀a∈R¹　

　　　　　⇔　任意の区間I　(閉区間、半開区間、開区間)に対して

　　　　　　　{ω∈Ω　|　X(ω)∈I　}∈　

　　　∀a∈R¹ として、(−∞,a ]の逆像がΩ上のσ加法族に属すなら

　　　[1]　∀a∈R¹ として(−∞,a ]の逆像がΩ上のσ加法族に属すなら、

　　　　　　(a, ∞) の逆像もΩ上のσ加法族に属し、その逆も成立。　

　　　[2]　∀a∈R¹ として(−∞,a ]の逆像がΩ上のσ加法族に属すなら、

　　　　　　(−∞,b) の逆像もΩ上のσ加法族に属し、その逆も成立。　

　　　[3]　∀a∈R¹ として(−∞,a ]の逆像がΩ上のσ加法族に属すなら、

　　　　　　[b, ∞) の逆像もΩ上のσ加法族に属し、その逆も成立。　

　　　[4]　∀a∈R¹ として(−∞,a ]の逆像がΩ上のσ加法族に属すなら、

　　　[5]　∀a∈R¹ として(−∞,a ]の逆像がΩ上のσ加法族に属すなら、

　　　[6]　∀a∈R¹ として(−∞,a ]の逆像がΩ上のσ加法族に属すなら、

　　　　　　半開区間(a, b ] の逆像もΩ上のσ加法族に属し、その逆も成立。

　　　[7]　∀a∈R¹ として(−∞,a ]の逆像がΩ上のσ加法族に属すなら、

　　　　　　半開区間[a, b ) の逆像もΩ上のσ加法族に属し、その逆も成立。

　　　　仮定：X⁻¹ (　(−∞,a ]　)≡{ω∈Ω　|　−∞＜X(ω)≦a}∈,for∀a∈R¹とする。

　　　　　　　　∵σ加法族の定義

　　　　X⁻¹ (　(−∞,a ]　)^C ≡{ω∈Ω　|　−∞＜X(ω)≦a}^C ∈,for∀a∈R¹。

　　　　　　　　　逆写像の性質から、

　　　　　　　　　X⁻¹ (　(−∞,a ]　)^C

　　　　　　　　　= X⁻¹ (　(−∞,a ] ^C　)=X⁻¹ (　(a, ∞)　)≡{ω∈Ω　|　a＜X(ω)＜∞ }

　　　　∴X⁻¹ (　(a, ∞)　) ≡{ω∈Ω　|　a＜X(ω)＜∞}∈,for∀a∈R¹。　

　　　　　　　　　∵　X⁻¹ (　(a, ∞)　)がσ加法族に属すなら、

　　　　　　　　　　その補集合もσ加法族に属す。∵σ加法族の定義　

　　　　　　　　　∵　逆写像の性質から、

　　　　　　　　　　X⁻¹ (　(a, ∞)　)^C=X⁻¹ (　(a, ∞) ^C　) = X⁻¹ (　(−∞,a]　)

　　　　　X⁻¹ (　(−∞,a ]　) ≡{ω∈Ω　|　−∞＜X(ω)≦a}∈

　　　　⇔X⁻¹ (　(a, ∞)　) ≡{ω∈Ω　|　a＜X(ω)＜∞}∈　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　for　∀a∈R¹

　　　[2]　(−∞,a ], for　∀a∈R¹の逆像がΩ上のσ加法族に属すなら、

　　　　　　　(−∞,b ) , for　∀a∈R¹の逆像もΩ上のσ加法族に属す。　

　　　・X⁻¹ (　(−∞,a ]　)∈,for∀a∈R¹　⇒　X⁻¹ ((−∞,b))∈,for∀b∈R¹を示す

　　　　仮定：X⁻¹ (　(−∞,a ]　)≡{ω∈Ω　|　−∞＜X(ω)≦a}∈,for∀a∈R¹とする。

　　　　どんな実数aであれX⁻¹ (　(−∞,a ]　)がΩ上のσ加法族に属すというのだから、

　　　　実数aが、任意の実数b−1/1であれ、

　　　　　　　　　任意の実数b−1/2であれ、

　　　　　　　　　任意の実数b−1/3であれ、

　　　　　　　　　任意の実数b−1/nであれ、

　　　　X⁻¹ (　(−∞,a ]　)はΩ上のσ加法族に属す。

　　　　B₁= X⁻¹ ((−∞,b−1/1 ])≡{ω∈Ω　|　−∞＜X(ω)≦b−1/1}∈, for∀b∈R¹

　　　　B₂= X⁻¹ ((−∞,b−1/2 ])≡{ω∈Ω　|　−∞＜X(ω)≦b−1/2}∈, for∀b∈R¹

　　　　B_n= X⁻¹ ((−∞,b−1/n ])≡{ω∈Ω　|　−∞＜X(ω)≦b−1/n}∈ ,for∀b∈R¹　　　　

　　　　したがって、σ加法族の定義から、

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　,for∀b∈R¹　　　　

　　　　これは、X⁻¹ ((−∞,b))≡{ω∈Ω|−∞＜X(ω)<b}に等しいので、

　　　　∴X⁻¹ ((−∞,b))≡{ω∈Ω|−∞＜X(ω)<b}∈,for∀b∈R¹　　　　

　　　・X⁻¹ ((−∞,b))∈,for∀b∈R¹　⇒　X⁻¹ (　(−∞,a ]　)∈,for∀a∈R¹を示す

　　　　X⁻¹ ((−∞,b))≡{ω∈Ω|−∞＜X(ω)<b}∈,for∀b∈R¹　とする。

　　　　どんな実数bであれ、X⁻¹ ((−∞,b))がΩ上のσ加法族に属すというのだから、

　　　　実数bが、任意の実数a+1/1であれ、

　　　　　　　　　任意の実数a+1/2であれ、

　　　　　　　　　任意の実数a+1/3であれ、

　　　　　　　　　任意の実数a+1/nであれ、

　　　　X⁻¹ ((−∞,b))はΩ上のσ加法族に属す。

　　　　A₁= X⁻¹ ((−∞, a+1/1))≡{ω∈Ω　|　−∞＜X(ω) < a+1/1 }∈, for∀a∈R¹

　　　　A₂= X⁻¹ ((−∞, a+1/2))≡{ω∈Ω　|　−∞＜X(ω) < a+1/2 }∈, for∀a∈R¹

　　　　A_n= X⁻¹ ((−∞, a+1/n))≡{ω∈Ω　|　−∞＜X(ω) < a+1/n }∈ ,for∀a∈R¹　　　　

　　　　σ加法族の定義から導出される定理から、

　　　　∈,

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　for∀a∈R¹　　　　

　　　　これは、X⁻¹ (　(−∞,a ]　)≡{ω∈Ω　|　−∞＜X(ω)≦a}に等しいので、

　　　　∴X⁻¹ (　(−∞,a ]　)≡{ω∈Ω　|　−∞＜X(ω)≦a}∈,for∀a∈R¹　

　　　　X⁻¹ (　(−∞,a ]　)≡{ω∈Ω　|　−∞＜X(ω)≦a}∈

　　　　⇔X⁻¹ ((−∞,b))≡{ω∈Ω|−∞＜X(ω)<b}∈,for∀b∈R¹　

　　　　(⇒)

　　　　仮定：X⁻¹ (　(−∞,a ]　)≡{ω∈Ω|−∞＜X(ω)≦a}∈,for∀a∈R¹とする。

　　　　[A-2]より、

　　　　X⁻¹ ((−∞,b))≡{ω∈Ω|−∞＜X(ω)<b}∈,for∀b∈R¹　

　　　　　　　　∵σ加法族の定義

　　　　X⁻¹ (　(−∞,b )　)^C ≡{ω∈Ω　|　−∞＜X(ω)＜b}^C ∈,for∀b∈R¹。

　　　　　　　　　逆写像の性質から、

　　　　　　　　　X⁻¹ (　(−∞,b )　)^C

　　　　　　　　　= X⁻¹ (　(−∞,b ) ^C　)=X⁻¹ (　[b, ∞)　)≡{ω∈Ω　|　b≦X(ω)＜∞ }

　　　　∴X⁻¹ (　[b, ∞)　) ≡{ω∈Ω　|　b≦X(ω)＜∞}∈,for∀b∈R¹。　

　　　　仮定：X⁻¹ (　[b, ∞)　) ≡{ω∈Ω　|　b≦X(ω)＜∞}∈,for∀b∈R¹とする。

　　　　　　　　∵σ加法族の定義

　　　　X⁻¹ (　[b, ∞)　)^C ≡{ω∈Ω　|　b≦X(ω)＜∞}^C∈,for∀b∈R¹とする。

　　　　　　　　　逆写像の性質から、

　　　　　　　　　X⁻¹ (　[b, ∞)　)^C

　　　　　　　　　= X⁻¹ (　[b, ∞)^C　)=X⁻¹ (　(−∞,b)　)≡{ω∈Ω　|　−∞＜X(ω)＜b }

　　　　X⁻¹ ((−∞,b))≡{ω∈Ω|−∞＜X(ω)<b}∈,for∀b∈R¹　

　　　　 [A-2]より、

　　　　∴X⁻¹ (　(−∞,a ]　)≡{ω∈Ω|−∞＜X(ω)≦a}∈,for∀a∈R¹

　　　　X⁻¹ (　(−∞,a]　)≡{ω∈Ω　|　−∞＜X(ω)≦a}∈,for∀a∈R¹

　　　⇔X⁻¹ (　[　b,∞)　)≡{ω∈Ω　|　　b≦X(ω)＜∞}∈,for∀b∈R¹　

　　　　(⇒)

　　　　仮定：X⁻¹ (　(−∞,a ]　)≡{ω∈Ω|−∞＜X(ω)≦a}∈,for∀a∈R¹とし、

　　　　　　　　b, c を、b < cを満たす任意の実数とする。

　　　　どんな実数aであれX⁻¹ (　(−∞,a ]　)がΩ上のσ加法族に属すというのだから、

　　　　実数aが、それとは別の任意の実数cでもよい。

　　　　X⁻¹ (　(−∞,c ]　)≡{ω∈Ω|−∞＜X(ω)≦c}∈,for∀c∈R¹　　　

　　　　また、[A-3]から、

　　　　X⁻¹ (　[　b,∞)　)≡{ω∈Ω　|　　b≦X(ω)＜∞}∈,for∀b∈R¹　　　

　　　　σ加法族の定義から導出される定理から、

　　　　X⁻¹ ((−∞,c ])∩X⁻¹ ([b,∞))={ω∈Ω|b≦X(ω)≦c}= X⁻¹ ([b,c])∈

　　　　仮定：任意の閉区間をI_n= [a-n,a], for∀a∈R¹,for∀n∈R¹とし、

　　　　　　　　X⁻¹ (　I_n　)≡X⁻¹ (　[a-n,a]　)≡{ω∈Ω| a-n≦X(ω)≦a}∈　とする。

　　　　　σ加法族の定義(条件3)から、

　　　　　＝X⁻¹ (　(−∞,a ]　)≡{ω∈Ω|−∞＜X(ω)≦a}

　　　　∴X⁻¹ (　(−∞,a ]　)≡{ω∈Ω|−∞＜X(ω)≦a}∈

　　　　　　任意の開区間の逆像もΩ上のσ加法族に属す。　　

　　　　(⇒)

　　　　仮定：X⁻¹ (　(−∞,a ]　)≡{ω∈Ω|−∞＜X(ω)≦a}∈,for∀a∈R¹とし、

　　　　　　　　b を、a <bを満たす任意の実数とする。

　　　　[A-1]から、

　　　　X⁻¹ (　(　a,∞)　)≡{ω∈Ω|a＜X(ω)＜∞}∈　　　

　　　　[A-2]から、

　　　　X⁻¹ (　(−∞,b)　)≡{ω∈Ω|−∞＜X(ω)＜b }∈,for∀b∈R¹　　　

　　　　σ加法族の定義から導出される定理から、

　　　　X⁻¹ ((a,∞))∩X⁻¹ ((−∞,b )) ={ω∈Ω| a＜X(ω)＜b }= X⁻¹ ((a,b))∈

　　　　仮定：任意の開区間をI_n= (a-n,a), for∀a∈R¹,for∀n∈R¹とし、

　　　　　　　　X⁻¹ (　I_n　)≡X⁻¹ (　(a-n,a)　)≡{ω∈Ω| a-n＜X(ω)＜a}∈　とする。

　　　　　σ加法族の定義(条件3)から、

　　　　　＝X⁻¹ (　(−∞,a )　)≡{ω∈Ω|−∞＜X(ω)＜a}

　　　　∴ X⁻¹ (　(−∞,a )　)≡{ω∈Ω|−∞＜X(ω)＜a}∈

　　　　[A-2]より、

　　　　∴X⁻¹ (　(−∞,a ]　)≡{ω∈Ω|−∞＜X(ω)≦a}∈,

　　　[6]　∀a∈R¹ として(−∞,a ]の逆像がΩ上のσ加法族に属すなら、

　　　　(⇒)

　　　　仮定：X⁻¹ (　(−∞,a ]　)≡{ω∈Ω|−∞＜X(ω)≦a}∈,for∀a∈R¹とし、

　　　　　　　　b を、a <bを満たす任意の実数とする。

　　　　どんな実数aであれX⁻¹ (　(−∞,a ]　)がΩ上のσ加法族に属すというのだから、

　　　　実数aが、それとは別の任意の実数bでもよい。

　　　　X⁻¹ (　(−∞,b]　)≡{ω∈Ω|−∞＜X(ω)≦b}∈,for∀b∈R¹　　　

　　　　[A-1]から、

　　　　X⁻¹ (　(　a,∞)　)≡{ω∈Ω|a＜X(ω)＜∞}∈　　　

　　　　σ加法族の定義から導出される定理から、

　　　　X⁻¹ ((a,∞))∩X⁻¹ ((−∞,b]) ={ω∈Ω| a＜X(ω)≦b }= X⁻¹ ((a,b])∈

　　　　仮定：任意の開区間をI_n= (a-n,a], for∀a∈R¹,for∀n∈R¹とし、

　　　　　　　　X⁻¹ (　I_n　)≡X⁻¹ (　(a-n,a]　)≡{ω∈Ω| a-n＜X(ω)≦a}∈　とする。

　　　　　σ加法族の定義(条件3)から、

　　　　　＝X⁻¹ (　(−∞, a]　)≡{ω∈Ω|−∞＜X(ω)≦a}

　　　　∴ X⁻¹ (　(−∞, a]　)≡{ω∈Ω|−∞＜X(ω)＜a}∈

　　　[7]　∀a∈R¹ として(−∞,a ]の逆像がΩ上のσ加法族に属すなら、

　　　　(⇒)

　　　　仮定：X⁻¹ (　(−∞,a ]　)≡{ω∈Ω|−∞＜X(ω)≦a}∈,for∀a∈R¹とし、

　　　　　　　　b を、a <bを満たす任意の実数とする。

　　　　[A−2] から、

　　　　X⁻¹ (　(−∞,c)　)≡{ω∈Ω|−∞＜X(ω)＜c}∈,for∀c∈R¹　　　

　　　　[A−3]から、

　　　　X⁻¹ (　[　b,∞)　)≡{ω∈Ω|b≦X(ω)＜∞}∈　　　

　　　　σ加法族の定義から導出される定理から、

　　　　X⁻¹ ([b,∞))∩X⁻¹ ((−∞,c)) ={ω∈Ω| b≦X(ω)＜c }= X⁻¹ ([b, c))∈

　　　　仮定：任意の開区間をI_n= [a-n,a), for∀a∈R¹,for∀n∈R¹とし、

　　　　　　　　X⁻¹ (　I_n　)≡X⁻¹ (　[a-n,a)　)≡{ω∈Ω| a-n≦X(ω)＜a}∈　とする。

　　　　　σ加法族の定義(条件3)から、

　　　　　＝X⁻¹ (　(−∞, a)　)≡{ω∈Ω|−∞＜X(ω)＜a}

　　　　∴ X⁻¹ (　(−∞, a)　)≡{ω∈Ω|−∞＜X(ω)＜a}∈

　　　　[A-2]より、

　　　　∴X⁻¹ (　(−∞,a ]　)≡{ω∈Ω|−∞＜X(ω)≦a}∈,　　　　

　　　　※柳川『統計数学』pp.11-12にでている証明の

　　(proof)

　　　(⇒)　

　　　　　Xは標本空間Ω上の確率変数とする。

　　　　　すなわち、XはΩ上の関数。∵確率変数の定義

　　　　　すなわち、X⁻¹ (B)∈　,for　∀B∈　∵の定義

　　　　　　　　　　ここで、上記のBについて。

　　　　　　　　　　(−∞,a ] ∈, ∀a∈R¹　なので、∵ボレル集合族の定義　

　　　　　　　　　　B=(−∞,a ] ととっても相変わらず上式は成立する。

　　　　　∴　X⁻¹ (　(−∞,a ]　)∈, ∀a∈R¹　　

※具体例　(柳川『統計数学』p.11)

　　※野田・宮岡『数理統計学の基礎』pp.14-15、鈴木・山田『数理統計学―基礎から学ぶデータ解析―（第二版）』での、確率変数の定義とその必要十分条件となる上記定理。しかし、柳川『統計数学』pp.11-13.と佐藤『はじめての確率論　測度から確率へ』pp.34-37.では、定理と定義が逆になっている。

　　　　　X=(X₁,X₂,…,X_n)は

　　　　⇔X_i は (i=1,….,n)

　f : R ⁿ → R^m はBorel可測

　⇔ f^-1(B)≡{ x∈ R ⁿ | f ( x ) ∈ B }∈　for ∀B∈　

　※連続関数ならBorel可測。

　Xを上の確率変数とする。

　h : R → R はBorel可測関数であれば、

　　　Y= h (X)

　　　（証明）Yが確率変数の定義を満たすことを示せばよい。

　　　写像Y:　Ω∋ω→h [X(ω)]∈Rを考える。

　　　各B∈に対し、

　　　　　Y^−１ (B) = X^−１[ h^−１ (B) ]

　　　仮定より、h : R → R はBorel可測関数なので、h^−１ (B) ∈　,for　∀B∈　。

　　　仮定より、Xは上の確率変数なので、X⁻¹ (B)∈　,for　∀B∈　。

　　　ゆえに、Y^−１(B)=X^−１[ h^−１ (B) ] ∈　,for　∀B∈　。

　　　∴Yは上の確率変数。　。

　　（参考文献)

　　　野田・宮岡『数理統計学の基礎』pｐ.15-16は、一次関数のケースのみ。ボレル集合の知識不要。Pp.24-25はきわめて有用。

　　　柳川堯『統計数学』近代科学社、1990, pp.13-14.は、確率変数の関数が確率変数になる条件を、一般的に論じている。ボレル集合の知識が必要。

　　　佐藤『はじめての確率論　測度から確率へ』pp.38-39.

文献1.『岩波数学辞典（第三版）』項目47C(p.128), 225B. (pp.626-627)

文献2. 佐藤坦『はじめての確率論　測度から確率へ』共立出版、1994、pp.34-44.

文献3. 鈴木武・山田作太郎『数理統計学―基礎から学ぶデータ解析―（第二版）』内田老鶴圃、1998年、pp.21-22。

文献4. 矢野・田代『社会科学者のための基礎数学　改訂版』裳華房、1993年、p.150-155.　

文献5. 野田一雄・宮岡悦良『数理統計学の基礎』共立出版、1992年、pｐ.3-4, pp.14-15, pp.24-25 。

文献6. 柳川堯『統計数学』近代科学社、1990, pp.11-14.