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y=f(x)は閉区間[a,b]で連続、開区間(a,b)で微分可能とする(区間の端点では微分可能でなくてもよい)。→
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ロールの定理の証明)
(a)最大値がf(a)=f(b)と異なる場合 その最大値(複数の点で相等しい最大値をとる場合はその内の一つ)を、 c∈(a,b) におけるf (c) とおくと、 f ' (c) =0 となり、少なくとも最大値のところでf ' (c) =0となることを示す。 (仮定) ・y=f(x)は(a,b)で微分可能 …(1) ・f (c)は閉区間[a,b]での最大値 …(2) (本論) ・(2)より、任意のx ∈[a,b]に対して、f(x)≦f (c) すなわち、任意のx ∈[a,b]に対して、f(x)−f (c)≦0 すると、 x = cにおける左微分係数: ![]() ![]() ![]() ∵f(x)−f (c)≦0、x− c <0 x = cにおける右微分係数: ![]() ![]() ![]() ∵f(x)−f (c)≦0、x− c >0 (1)より、y=f(x)は任意のc∈(a,b)で微分可能であるから、 x = cにおける微分係数f ' (c)=f ' (c−0)=f ' (c+0) よって、f ' (c) =0 (b)最大値はf(a)=f(b)と同じだが最小値がf(a)=f(b)と異なる場合 その最小値(複数の点で相等しい最小値をとる場合はその内の一つ)を、 |
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c∈(a,b) におけるf (c) とおくと、 f ' (c) =0 となり、少なくとも最小値のところでf ' (c) =0となることを示す。 (仮定) ・y=f(x)は(a,b)で微分可能 …(1) ・f (c)は閉区間[a,b]での最小値 …(2) (本論) ・(2)より、任意のx ∈[a,b]に対して、f(x)≧f (c) すなわち、任意のx ∈[a,b]に対して、f(x)−f (c)≧0 すると、 x = cにおける左微分係数: ![]() ![]() ![]() ∵f(x)−f (c)≧0、x− c <0 x = cにおける右微分係数: ![]() ![]() ![]() ∵f(x)−f (c)≧0、x− c >0 (1)より、y=f(x)は任意のc∈(a,b)で微分可能であるから、 x = cにおける微分係数f ' (c)=f ' (c−0)=f ' (c+0) よって、f ' (c) =0 |
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