R上の区間塊の長さを定義する集合関数μ( )の性質5の証明　
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[準備]　
・舞台設定
R　　　　　：実数の全体の集合R＝{ x| −∞ < x < ＋∞ }であるが、
　　　　　　　ここでは特に、1次元ユークリッド空間の意味ももたせる。　
集合系(族)E　： R上の区間塊として考えられ得るものすべてを集めてきた集合系(族)。
　　　　　　　　　　　　※区間塊Eは、Rの部分集合だから、EはRの部分集合系(族)となっている。
　　　　　　　　　　　　※Eは有限加法族である(∵)。　
　Ψ(I) 　　　：　区間Iの長さを定義する集合関数。
　　　　　　　すなわち、
　　　　　　　(i)　I=(a, b]　(ただし−∞< a< b<＋∞)ならば、　Ψ(I) =b−a　　　
　　　　　　　(ii)　I=φならば、　Ψ(φ) = 0　　
　　　　　　　(iii)　I=(−∞, b], (a , ∞), (−∞, ∞)(ただし−∞< a,b<＋∞) ならば、Ψ(I) =＋∞　　
・集合関数μの定義　
　Eに属す、すべてのEは、区間塊であるから、　
　　　　　　type 1: 左半開区間(a, b]={ x | a<x≦b }　(ただし−∞< a< b<＋∞),
　　　　　　type 2: (−∞, b]={ x | x≦b }　(ただし−∞< b<＋∞)、
　　　　　　type 3: (a , ∞)={ x | a<x }　(ただし−∞< a <＋∞)、
　　　　　　type 4: (−∞, ∞)=実数全体の集合R　
　　　　　　type 5: 空集合φ 　
　の5タイプの区間の有限個の直和として表す（＝互いに素な有限個の上記５タイプの区間へ分割する）
　ことができる。　　
　すなわち、
　Eに属す、すべてのEには常に、
　　　1以上の或る自然数nが存在して、
　　　E= I₁＋…＋I_n　（ただし、I₁,…,I_nは、上記5タイプいずれかの区間）
　と表せる。　　　※自然数nは1以上とわざわざことわったのは、E= I₁というケースも当然ありうるという意味。
　そこで、区間Iの長さを定義する集合関数を用いて、　
　　　μ(E)=Ψ(I₁)＋Ψ(I₂)＋…＋Ψ(I_n)
　と、関数μを定義する。　
　このμ(E)は、きれぎれの直線Eの長さの和となる。
[μ()の性質5]　
　R上の任意の区間塊E と、Eにたいしてとった任意のα<μ(E)にたいして、
　　　　　　　[F]⊂E　かつ　α< μ (F)　　
　を満たす有界な区間塊Fが存在する。
　( ∀E∈E ) ( ∀α<μ(E) ) (∃F∈E ) ( [F]⊂E かつ α< μ (F) )
　　　　※疑問：E=φの場合、μ(E)=0だけど、このケースも考えているのだろうか？　　
[μ( )の証明]　[伊藤『ルベーグ積分』I-§4有限加法的測度:定理4.2証明内(p. 20);]
Step0: 区間塊Eを、区間列{ I₁,…, I_n }にもどしたうえで、場合分け　
　Eは、　R上の任意の区間塊だから、
　　　　　　type 1: 左半開区間(a, b]={ x | a<x≦b }　(ただし−∞< a< b<＋∞),
　　　　　　type 2: (−∞, b]={ x | x≦b }　(ただし−∞< b<＋∞)、
　　　　　　type 3: (a , ∞)={ x | a<x }　(ただし−∞< a <＋∞)、
　　　　　　type 4: (−∞, ∞)=実数全体の集合R　
　　　　　　type 5: 空集合φ 　
　の5タイプの区間の有限個の直和として表す（＝互いに素な有限個の上記５タイプの区間へ分割する）
　ことができる。　　
　すなわち、
　　　1以上の或る自然数nが存在して、
　　　E= I₁＋…＋I_n　（ただし、I₁,…,I_nは、上記5タイプいずれかの区間で、互いに素）…(0-1)
　と表せる。　　
ここで、
case1:　　I₁,…,I_nがすべて、type 1: 左半開区間(a, b]のかたちをしている場合、
case2:　　I₁,…,I_nのなかに、type 2: (−∞, b]、type 3: (a , ∞)、type 4: (−∞, ∞)のかたちをしたものが含まれる場合　
の二つの場合にわける。
Case1: I₁,…,I_nがすべて、type 1: 左半開区間(a, b]のかたちをしている場合
　　　つまり、　μ (I₁) , μ (I₂) , …, μ (I_n)　すべてが、∞ではない
Case1-Step1:　　
任意の実数α< μ (E)にたいして、
　μ(E)−αをとると、μ(E)−α > 0
よって、
任意の実数α< μ (E)にたいして、
　( μ (E)−α)/nをとると(nは、step0でEを区間I₁,…,I_nに分割したときの区間の個数である)、
　( μ (E)−α)/n > 0
したがって、　　
任意の実数α< μ (E)にたいして、
　μ (I_k) − (μ (E)−α)/nをとると、
　μ (I_k) − (μ (E)−α)/n < μ (I_k)　を満たす (ただし、kは1からnまでの自然数)…(1-1)
Case1-Step2:　ある{ J₁,…, J_n }の存在証明　
・(1-1)と、μ( )の性質4より、
　区間I₁と、　μ (I₁) − ( μ (E)−α ) /n　< μ ( I₁ )　にたいして、　　　　　
　[ J₁ ]⊂I₁　かつ　μ( J₁ ) > μ ( I₁ )−(μ (E)−α)/n　　　　
　を満たす有界区間J₁=(a^*₁ , b^*₁ ]　(−∞< a^*₁< b^*₁<＋∞) が存在する。…(1-2-1)
・(1-1)と、μ( )の性質4より、
　区間I₂と、μ( I₂ )−(μ(E)−α)/n　<　μ( I₂ )　にたいして、
　[ J₂ ]⊂I₂　かつ　μ( J₂ ) >μ( I₂ )−(μ(E)−α)/n　　　　
　を満たす有界区間J₂=(a^*₂ , b^*₂ ]　(−∞< a^*₂< b^*₂<＋∞)が存在する。…(1-2-2)
：
：
：
・(1-1)と、μ( )の性質4より、
　区間I_nと、μ ( I_n )−(μ (E)−α)/n　<μ ( I_n )　にたいして、　
　[ J_n ]⊂I_n　かつ　μ( J_n ) >μ( I_n )−(μ(E)−α)/n　　　　
　を満たす有界区間J_n=(a^*_n , b^*_n ]　(−∞< a^*_n< b^*_n<＋∞)が存在する。…(1-2-n)

Case1-Step3:　F=J₁+…+ J_nの性質　
・J₁,…, J_nは互いに素。…(1-3-1)
　　なぜなら、
　　(0-1)よりI₁,…,I_nは互いに素、
　　かつ、(1-2-1) (1-2-2),…,(1-2-n)より、[ J_k ]⊂I_k　(k=1,2,…, n)　　　
F= J₁+…+ J_nとおく。…(1-3-2)
・[F] ⊂ E　
　なぜなら、
　　[F]=[ J₁ ]+[ J₂ ]+…+[ J_n ]　　　　∵(1-3-2)　
　　　　⊂I₁＋…＋I_n　　　　　　　∵(1-2-1) (1-2-2),…,(1-2-n)　　
　　　　　=E　　∵(0-1)
・μ(F) >α
　なぜなら、
　　μ(F)=μ(J₁)+μ(J₂)+…+μ(J_n)　∵ J₁,…, J_nは互いに素で、すべて区間塊だから、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　μ( ) 性質3(有限加法性)を適用。　　
　　　　　>μ( I₁ )−(μ(E)−α)/n＋μ( I₂ )−(μ(E)−α)/n＋…＋μ( I_n )−(μ(E)−α)/n　　
　　　　　　=μ( I₁)+μ( I₂)+…+μ( I_n)−(μ(E)−α)　
　　　　　　=μ( I₁)+μ( I₂)+…+μ( I_n) −μ(E)＋α　　
　　　　　　=μ(E)−μ(E)＋α　　∵ I₁,…, I_nは互いに素で、すべて区間塊だから、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　μ( ) 性質3(有限加法性)よりμ( I₁)+μ( I₂)+…+μ( I_n) =μ(E)
　　　　　　＝α　　　
Case1-Step4:　結論　
以上から、
　区間塊Eを有界な左半開区間(a, b]の直和として表せるケースでは、
　Eにたいしてとった任意のα<μ(E)にたいして、
　　　　　　　[F]⊂E　かつ　α< μ(F)　　
　を満たす有界な区間塊Fとして、上にあげたようなものが少なくとも存在することが明かとなった。

Case2: I₁,…,I_nのなかに、type 2: (−∞, b]、type 3: (a , ∞)、type 4: (−∞, ∞)のかたちをしたものが含まれる場合　
Case2-Step1:　　
I₁,…,I_nのなかで、type 2: (−∞, b]、type 3: (a , ∞)、type 4: (−∞, ∞)のかたちをした区間のひとつを選び出し、
これを、I_k*と名づける。
μ( )の性質4より、
　区間I_k*と任意の実数αにたいして、
　　　　[J _k*]⊂I_k*　　　…(2-1-1)
　　かつ
　　　　α<μ(J _k*)　　　…(2-1-2)
　を満たす有界区間J _k*=(a^* , b^* ]　(−∞< a^*< b^*<＋∞) が存在する。
Case2-Step2:　　
有界な区間塊F= J _k*　とおく。…(2-2-1)
このとき、
　[F]=[J _k*]　　　∵(2-2-1)
　　　⊂I_k*　　　∵(2-1-1)
　　　　⊂E　　　∵(0-1)
　μ(F)=μ(J _k*)　　　∵(2-2-1)
　　　　　>α　　　∵(2-1-2)　
Case2-Step3:　結論　
以上から、
　区間塊Eを有界な左半開区間(a, b]の直和として表せないケースでも、
　任意の実数αにたいして（だから、Eにたいしてとった任意のα<μ(E)にたいしても）、
　　　　　　　[F]⊂E　かつ　α< μ(F)　　
　を満たす有界な区間塊Fとして、上にあげたようなものが少なくとも存在することが明かとなった。

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