定義：《実数の集合》の孤立点　isolated point


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孤立点の定義　：　距離表現

・「実数aが『点集合Eの孤立点』である」とは、

　実数aはEに属すが、

　《aからの距離ε以内のゾーン》 の幅εの調整によって、
　《実数aから距離ε以内のゾーン》内に、実数a以外の「Eに属す実数」が皆無
　という状態を達成できる

　ということ。


・論理記号で表すと、

　「実数aが『点集合Eの孤立点』である」とは、

　　a∈E　かつ　∃ε>0 { x∈R | |x-a|<ε } ∩ E＝{a}　
　　a∈E　かつ　∃ε>0 { x∈R | |x-a|<εかつ x∈E } ＝{a}　

　　ということ。

【文献】

　見当たらない。上記は、近傍表現を、定義に遡って言い直したもの。


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孤立点の定義　：　開区間表現

・「実数aが『点集合Eの孤立点』である」とは、

　実数aはEに属すが、

　(a−ε, a＋ε) の幅εの調整によって、
　(a−ε, a＋ε) のなかに、実数a以外の「Eに属す実数」が皆無
　という状態を達成できる

　ということ。


・論理記号で表すと、

　「実数aが『点集合Eの孤立点』である」とは、

　　a∈E　かつ　∃ε>0 (a−ε, a＋ε) ∩ E＝{a}　


　　ということ。

【文献】

　・永倉･宮岡『解析演習ハンドブッ ク[1変数関数編]』4.1.6実数aをEの部分集合Aの集積点accumulation point, cluster point,limit pointとは、任意の正数δ>0に対して、0<|x-a|<δとなる点x∈Aが少なくとも一つは存在するということ。Aに属する点で、A の集積点でないものを孤立点という(p.135):4.1.８:同値条件。aはAの孤立点⇔a以外のAの点が一つも属さない近傍(a-δ,a+δ)が存在する。(p.139)



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孤立点の定義　：　近傍表現


・「実数aが『点集合Eの孤立点』である」とは、

　　a∈E　かつ　∃ε>0 Uε(a)∩ E＝{a}　
　　　　[能代『極限論と集合論』7章2(p.128:脚注1も参照);彌永『集合と位相II』§1.10閉包(p.168)；小平『解析入門I』§1.6-b(p.58):R2]

　ということ。

【文献】

　・能代『極限論と集合論』7章2(p.128:脚注1も参照);
　　「Eの一点Pにたいして、Pの十分小なるρ近傍U(P,ρ)を適当に選んで、U(P,ρ)内にはP以外のEの点が存在しないようにできるならば、Pを点集合Eの孤立点という。」
　・彌永『集合と位相II』§1.10閉包(p.168)；
　・小平『解析入門I』§1.6-b(p.58):R2

　・黒田『微分積分』問8.1.4(p.275):Rn一般。。 【その集合に属す点と、集積点を用いた表現】の必要十分条件として。a∈E かつ　∃ε>0  E∩Uε＝{a}

　・de la Fuente, Mathematical Methods and Models for Economists,2.4(b)Definition4.10(p.61):距離空間一般について。"limit point"ε近傍をつかって定義。　　「実数aが集合Eの集積点」とは、∀ε>0 　Uε(a)∩ (E−{a})≠φ,
　　　　　　 "Notice that this is more restrictive than the definition of closure point because now the intersection of E and Uε(a) cannnot be just the point a itself.Points for which this is the case are called isolated points. Hence, closure points are either limit points or isolated points."(p.62)

　・永倉･宮岡『解析演習ハンドブッ ク[1変数関数編]』4.1.6実数aをEの部分集合Aの集積点accumulation point, cluster point,limit pointとは、任意の正数δ>0に対して、0<|x-a|<δとなる点x∈Aが少なくとも一つは存在するということ。Aに属する点で、A の集積点でないものを孤立点という(p.135):4.1.８:同値条件。aはAの孤立点⇔a以外のAの点が一つも属さない近傍(a-δ,a+δ)が存在する。(p.139)


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孤立点の定義　：　触点・集積点表現


・「実数aが『Rの部分集合Eの孤立点』である」とは、
　実数aが、「Eの触点」であるが、「Eの集積点」ではないということ。

　　a∈「Eの閉包」　かつ　¬a∈「Eの導集合」

　　a∈（「Eの閉包」─「Eの導集合」）


【文献】

　・彌永『集合と位相II』§1.10閉包(p.168)
　・de la Fuente, Mathematical Methods and Models for Economists,2.4(a)(p.60):距離空間一般について。closure pointからlimit pointを除いた残りは、すべて、孤立点。
　・de la Fuente, Mathematical Methods and Models for Economists,2.4(b)Definition4.10(p.61):距離空間一般について。"limit point"ε近傍をつかって定義。　　「実数aが集合Eの集積点」とは、∀ε>0 　Uε(a)∩ (E−{a})≠φ,
　　　　　　 "Notice that this is more restrictive than the definition of closure point because now the intersection of E and Uε(a) cannnot be just the point a itself.Points for which this is the case are called isolated points. Hence, closure points are either limit points or isolated points."(p.62)

　・Lang, Undergraduate Analysis,Chapter2§2(p.41);Chapter7§1(p.134)
　・Lang,『ラング現代微積分学』2章§2(p.37)近傍をつかって定義

　・Lang, Undergraduate Analysis,Chapter6§5Exercises13(p.132) ：Rのみならず、ノルムベクトル空間全般。
　・Lang,『ラング現代微積分学』の6章§5練習問題(p.144)には、第13問は未収録。

Let S be a subset of a normed vector space E.
 An element v of S is called isolated in S if there exists an open ball centered at v such that v is the only element of S in this open ball.
(a) show that "x is adherent to S" ⇔ "x is either an accumulation point of S or an isolated point of S"

　　　
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孤立点の定義　：　元と集積点を用いた表現


・「実数aが『Rの部分集合Eの孤立点』である」とは、
　実数aが、Eに属しているが、「Eの集積点」ではないということ。

　　a∈E　かつ　　¬a∈「Eの導集合」

　　a∈E−《Eの導集合》　


【文献】　

　・松坂『解析入門3』12.1-J(p.63)「aがAの点で、Aの集積点でないときには、aはAの孤立点とよばれる。」
　・小平『解析入門I』§1.6-b(p.58)R2:「PはSの孤立点isolated pointである」とは「『Sの集積点』ではない『Sに属す点』」「∃ε>0 Uε(P)∩S={P}」
　・黒田『微分積分』8.1.4(p.275):Rn一般
　・ルディン『現代解析学』2.20定義(p.33):距離空間一般について。「p∈EでしかもpがEの集積点でなければ、pをEの孤立点という。
　・永倉･宮岡『解析演習ハンドブッ ク[1変数関数編]』4.1.6実数aをEの部分集合Aの集積点accumulation point, cluster point,limit pointとは、任意の正数δ>0に対して、0<|x-a|<δとなる点xが少なくとも一つは存在するということ。Aに属する点で、A の集積点でないものを孤立点という(p.135):4.1.8a以外のAの点が一つも属さないaの近傍が存在する。ex4.1.7(p.139)


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