1.  極限の一意性 ・収束列の極限値は、存在するならば唯一つ。 　すなわち、 　　　an→α (n→∞)  かつ an→β (n→∞) ならば、α＝β	[文献] 　・吹田・新保『理工系の微分積分学』定理1-1(p.7) 　・杉浦『解析入門I』命題2.3(p.13) 　・小平『解析入門I』§1.4-a(p.24) 　・笠原『微分積分学』1.2命題1.7(p.9）:証明付 　・黒田『微分積分学』§2.5.2命題2.8(p.45) 　・赤『実数論講義』定理5.2.1(p.118) 　・斎藤『数学の基礎：集合・数・位相』2.5.３命題1(p.53)：証明略。順序体一般において

→[トピック一覧：数列の極限の性質] →総目次

証明「極限の一意性」 　　収束の定義から、 　　an→α(n→∞)かつan→β(n→∞)とは、すなわち、 　　任意の（どんな小さな）ε＞0に対して（でも）、 　　　　　| an −α|＜ε／2　(n≧N1)、| an −β|＜ε／2　(n≧N2)　…※ 　　を満たすような、自然数N1、N２が存在する、ということ。 　　 　　N=max{ N1, N２}とする。 　　|α−β|＝|α−aN＋aN−β| 　　　　　　　≦|α−aN｜＋｜aN−β｜　　　∵|x+y|≦|x|+|y|　　 　　　　　　　＜ε/2＋ε/2＝ε　　　∵N=max{ N1, N２}より※式成立　　　 　　つまり、|α−β|＜ε　　 　　εは任意の正数であり、0に届かない限り、プラスならば、 　　どんなに小さくてもよいのであった。 　　これはα−β=0を意味する。

[文献] 　・ 　・笠原『微分積分学』1.2命題1.7(p.9）:証明付 　・赤『実数論講義』定理5.2.1(p.118) 　・斎藤『数学の基礎：集合・数・位相』2.5.３命題1(p.53)：証明略。順序体一般において

→[トピック一覧：数列の極限の性質] →総目次