コーシーの判定条件 [x→x0/x0＋0/−0の判定条件の一般化]　　

【設定】

　以下で登場するB, x0については、
　B：関数f(x)の定義域の部分集合　　　　（つまり、集合Bは定義域に含まれる何らかの区間及びその合併）
　x0：x0∈「Bの閉包」(B∪「Bの境界」)　（つまり、x0はBで表される区間の内部か境界にある） 　　としておく。
　この設定が成り立たない場合、以下は、定義されないことになる。

【本題】

　以下の命題P,Qは同値である。
　命題P: xがB内でx0に近づくとき、f(x)が収束する。すなわちf(x)→A (x→x0 , x∈B)　　
　命題Q: 任意の正数εに対して、ある正数δが存在して
　　　　　　　　　「x, x'∈B かつ |x−x0|＜δかつ |x'−x0|＜δならば、|f(x)−f(x') |＜ε」
　　　　　　つまり「 x, x'∈ (B∩( x0−δ, x0+δ)ならば、| f(x)−f(x') |＜ε」
　　　　を成り立たせる、ということ、
　　　　すなわち、 ∀ε>0　∃δ>0　∀ x, x'　 (x, x'∈（B∩( x0−δ, x0+δ)）⇒ |f(x)−f(x')|＜ε)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[杉浦『解析入門』pp. 61-2→53]

  ※以上の議論は、
　B= (fの定義域)∩{ x |x≠x0}とすると、 x→ x0のときのコーシーの判定条件になり、
　∵B= {x|x≠x0}なら「x,x'∈B∩( x0−δ, x0+δ)ならば」を
　　　　　　　　　「x, x'∈( x0−δ, x0)∪( x0 , x0+δ)ならば」と言い換えても同じ。
　B= (fの定義域)∩{ x |x＞x0}とすると、 x→ x0+0のときのコーシーの判定条件になり、
　∵B= { x |x＞x0}なら「x,x'∈B∩( x0−δ, x0+δ)ならば」を「x, x'∈( x0 , x0+δ)ならば」と言い換えても同じ。
　B= (fの定義域)∩{ x |x＜x0}とすると、 x→ x0−0のときのコーシーの判定条件になる。
　∵B= { x |x＜x0}なら「x,x'∈B∩( x0−δ, x0+δ)ならば」を「x, x'∈( x0−δ, x0)ならば」と言い換えても同じ。

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[P⇒Qの証明]

　Pが成立するという仮定の下では、いつでもQが成立することの証明。
　→杉浦『解析入門』pp. 61-2→53を参照。

[Q ⇒ Pの証明]

 　Qという仮定の下では、いつでもPが成立することの証明。
 　→杉浦『解析入門』pp. 61-2→53を参照。