関数の極限値どおしの演算に関する諸定理の証明









lim
 f(x)  ＝A 、　 lim
g(x)  ＝B  とすると、
x→x0
 		x→x0
【1. sum-difference limit theorem】
 　　→証明　

【2】
 　(c定数) →証明　

【3. product limit theorem】
  　 →証明　

【4. quotient limit theorem】
　　A≠0で、
  　　　　→証明　
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【1. sum-difference limit theorem】の証明　

　仮定：、
　は、定理
　　　　　　「x → x0 のとき、f(x)がAに収束するための必要十分条件は
　　　　　　　x0 に収束するどんな数列 { xn }（ただし、xn ≠ x0 ）に対しても、
　　　　　　　数列 { f ( xn ) }がAに収束することである」
　より、{ xn }を、 x0 に収束する任意の数列（ただし、xn ≠ x0 ）として　　　　…①
　、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…②
　と言い換えられる。
　　②と、数列の極限値の和についての定理から、
　　
　　{f(x)+g(x)}全体は、xの関数であるから、h(x)とおくと、　　　…③
　　
　　と言い換えられる。
　　これは、①より、定理
　　「x→x0 のとき、f(x)がAに収束するための必要十分条件は
　　x0 に収束するどんな数列 { xn }（ただし、xn ≠ x0 ）に対しても、
　　数列 { f ( xn ) }がAに収束することである」
　　を使って、
　　　
　　と言い換えられる。
　　③でh(x)に置き換えたところを元に戻して、
　　　

　【文献】
　　・吹田・新保『理工系の微分積分学』p.20、
　　・神谷・浦井『経済学のための数学入門』p.69.]

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（２）の証明

　仮定：、
　は、定理
　　　　　　「x → x0 のとき、f(x)がAに収束するための必要十分条件は
　　　　　　　x0 に収束するどんな数列 { xn }（ただし、xn ≠ x0 ）に対しても、
　　　　　　　数列 { f ( xn ) }がAに収束することである」
　より、{ xn }を、 x0 に収束する任意の数列（ただし、xn ≠ x0 ）として　　　　…①
　、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…②
　と言い換えられる。
　　②と、数列の極限値の定数倍についての定理から、
　　
　　{ cf(x)}全体は、xの関数であるから、h(x)とおくと、　　　…④
　　
　　と言い換えられる。
　　これは、①より、定理
　　「x → x0 のとき、f(x)がAに収束するための必要十分条件は
　　　　x0 に収束するどんな数列 { xn }（ただし、xn ≠ x0 ）に対しても、
　　　　数列 { f ( xn ) }がAに収束することである」
　　を使って、
　　　
　　と言い換えられる。
　　④でh(x)に置き換えたところを元に戻して、
　　　

　【文献】
　　・吹田・新保『理工系の微分積分学』p.20
　　・神谷・浦井『経済学のための数学入門』p.69.

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【3. product limit theorem】の証明


　仮定：、
　は、定理
　　　　　　「x → x0 のとき、f(x)がAに収束するための必要十分条件は
　　　　　　　x0 に収束するどんな数列 { xn }（ただし、xn ≠ x0 ）に対しても、
　　　　　　　数列 { f ( xn ) }がAに収束することである」
　より、{ xn }を、 x0 に収束する任意の数列（ただし、xn ≠ x0 ）として　　　　…①
　、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…②
　と言い換えられる。
　　②と、数列の極限値の積についての定理から、
　　　
　　{ f(x)g(x)}全体は、xの関数であるから、h(x)とおくと、　　　…⑤
　　
　　と言い換えられる。
　　これは、①より、定理
　　　「x→x0 のとき、f(x)がAに収束するための必要十分条件は
　　　　x0 に収束するどんな数列 { xn }（ただし、xn ≠ x0 ）に対しても、
　　　　数列 { f ( xn ) }がAに収束することである」
　　を使って、
　　　
　　と言い換えられる。
　　④でh(x)に置き換えたところを元に戻して、

　　　

　【文献】
　　・吹田・新保『理工系の微分積分学』p.20
　　・神谷・浦井『経済学のための数学入門』p.69.]


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【4. quotient limit theorem】の証明　


　仮定：、
　は、定理
　　　　　　「x→x0 のとき、f(x)がAに収束するための必要十分条件は
　　　　　　　x0 に収束するどんな数列 { xn }（ただし、xn ≠ x0 ）に対しても、
　　　　　　　数列 { f ( xn ) }がAに収束することである」
　より、{ xn }を、 x0 に収束する任意の数列（ただし、xn ≠ x0 ）として　　　　…①
　、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…②
　と言い換えられる。
　　②と、数列の極限値の商についての定理から、
　　
　　{ g(x)/f(x) }全体は、xの関数であるから、h(x)とおくと、　　　…⑥
　　
　　と言い換えられる。
　　これは、①より、定理
　　「x → x0 のとき、f(x)がAに収束するための必要十分条件は
　　　　x0 に収束するどんな数列 { xn }（ただし、xn ≠ x0 ）に対しても、
　　　　数列 { f ( xn ) }がAに収束することである」
　　を使って、
　　　
　　と言い換えられる。
　　④でh(x)に置き換えたところを元に戻して、
　　　　 　

　【文献】
　　・吹田・新保『理工系の微分積分学』p.20、
　　・神谷・浦井『経済学のための数学入門』p.69.]


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（reference）

『岩波数学辞典（第三版）』.項目166(pp436).
吉田耕作・栗田稔・戸田宏『平成元年3/31文部省検定済高等学校数学科用　高等学校　微分・積分　新訂版』啓林館、pp.28-33.
小平邦彦『解析入門I (軽装版) 』岩波書店、2003年、pp.78-9。
吹田・新保『理工系の微分積分学』学術図書出版社、1987年、pp.20-23.
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、p.95.
和達三樹『理工系の数学入門コース1・微分積分』岩波書店、1988年、pp.27-28.
杉浦光夫『解析入門』東京大学出版会、1980年、pp.57-63.
高橋一『経済学とファイナンスのための数学』新世社、1999年、pp.32-36;42-44.
住友洸『大学一年生の微積分学』現代数学社、1987年、p.124。
Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics: Third Edition, McGraw Hill,1984. pp.145-147.
Fischer,Emanuel.Intermediate Real Analysis(Undergraduate Texts in Mathematics),Springer-Verlag New York Heidelberg Berlin,1983,pp. 228-231; 238-239.
Lang,Serge.Undergraduate Analysis(Undergraduate Texts in Mathematics),Springer-Verlag New York Berlin Heidelberg .