保江 邦夫：ヒルベルト空間論 |
作成日：2013-03-05 最終更新日： |
距離空間、ベクトル空間、微分方程式の解の存在定理、有界線形作用素、完全連続作用素、 スペクトル分解などについての解説。
第1章 距離空間は次の文章で始まっている。
任意の集合 `ccX` の 2 要素を（後略）
この、最初のぐにゃぐにゃしている文字がわからなかった。おそらく `X` のカリグラフ体だろうが、 読み取るのに自信がなかった。この際、アルファベット大文字のカリグラフ体をすべて出してみる。
この本は図書館で借りた。書き込みがあるのが最初残念に思ったが、 これは誤植を直したり不明な点を明らかにしたりしたものだった。以下紹介する。
10章、p.53 のバナッハ空間 `L^p` である。定義 13 の `L^p` 空間は次のようになっている。
`p >0` なる実数 `p` に対して，積分
`int_0^1 abs(f(r))^p dr`
が存在するような単位区間 [0, 1] 上の任意の関数 `f in ccF[0,1]` を要素とする集合はベクトル空間であり， ノルム
`norm(f)_p -= root(p)(int_0^1 abs(f(r))^p dr) `
に関するノルム空間となるが，それを完備化して得られるバナッハ空間を `L^p` 空間と呼び，`L^p[0,1]` と記す．
書き込みはまず最初の `p > 0` のところにあり、鉛筆で`p >= 1` とある。 他の教科書や Web を見たが、すべて`p >= 1` である。したがって、同書の記述は誤植とみなせる。 なお、鉛筆の書き込みは最初の `L^p` にも○で囲むようにあったが、これは誤植ではなく、注意喚起だろう。
次にヘルダーの不等式が定理 14 として紹介されている。ここでは実数 `p > 1` に対して `1/p + 1/q = 1` となる
`q > 1` を考える
とある。これは正しい。ところが、その少し先へ行くと、
特に `p = q = 1/2 ` のとき，このヘルダーの不等式はコーシー―シュワルツの不等式と呼ばれる．
とあり、鉛筆の書き込みでは 1/2 が 2 と書き換えられている。これも当然であるから、やはり同書の記述は誤植である。
課題 9 は次のようになっている。
`p >1` に対して数列の集合 `l^p -= {x={x_n}_(n=1)^oo {:| sum_(n=1)^oo abs(x_n)^p が収束}`
を考える（後略）
書き込みは `p>1` の不等号の下に一本筋が入っていて `p>=1` に見える。この書き込みも正しい。 そして、`l^p` の周囲に○印の書き込みがある。これは前に書き込まれていた `L^p` の書き込みとの対比である。 他の本からの類推でいえば、`l^p` は small ell p と読み、数列空間を表すときに使う。 一方 `L^p` は large ell p と読み、関数空間を表すときに使う。なお上記の引用式は、 収束という言語が出てきているのでわかりやすいがちょっとかっこわるい。 次のように、収束ということを式で書くのが数学書としては多い。
`l^p -= {x={x_n}_(n=1)^oo {:| sum_(n=1)^oo abs(x_n) ^ p < +oo }`
後記：「`sum_(n=1)^oo abs(x_n)^p` が収束する」ことと「`sum_(n=1)^oo abs(x_n)^p < +oo `」とは異なることに今更気づいた。 後者の場合は「発散しない」だけで、収束する場合だけでなく振動する場合もある。
著者は、この本を含むシリーズを「数理物理学方法序説」と名付けている。このシリーズについて触れている個所で、
昔から「人生五十年」といわれてきた．
とあるが、きっとこれは織田信長によって有名になった
「人間五十年」と同じことなのだろう。そしてこの場合の人間は「じんかん」と読み、人の世、寿命を表すものなのだろう。
著者は人生五十年を終えるにあたりこのシリーズを書いた。私も、この本をちょうど五十歳で読んでいて、もうすぐ人生を終える。
だから何かしたいのだが、何もできない。
2016年7月10日に参議院選挙が行われた。著者は「日本のこころを大切にする党」の比例代表の名簿にのっていて、政見放送にも出演していた。 これには驚いた。(2016-07-16)
数式記述にはASCIIMathML を、 数式表現にはMathJaxを用いている。
| 書 名 | ヒルベルト空間論 |
| 著 者 | 保江 邦夫 |
| 発行日 | 年 月 日 |
| 発行元 | 日本評論社 |
| 定 価 | 円 |
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| その他 | 草加市立図書館で借りる |
