桑垣煥：函数方程式概論

概要

「はじめに」から著者のことばを引用する。

本書はこの基礎数学シリーズの主旨のように，微分方程式の初歩程度までの解析学を既知として，函数方程式の全般にわたって系統的に述べたものである． ここに用いた函数方程式という語の意味は，本文の最初に詳しく説明があるように，微分方程式等を含まない．（後略）

本文には問がある。解答はない。

感想

私は頭が弱いので、本書の内容がわからなかった。

文字の用法

p.2 の 「1.1.2 文字の用法」で次の表がある。表作成にあたって、本書ではギリシア文字は大文字も斜体になっているが、 この引用では立体になっている。便宜上用いるだけで，他書と一致させるためではない．という注意書きがある。

ベクトルは大文字，行列は大文字の太文字（ゴジック）とすると説明されている。普通は、ベクトルは（小文字）太文字、行列は大文字（非太文字）だろう。なお、 ゴジック表記は本文のままである。

関数方程式の例

pp.2-4 に関数方程式の例がある。なお、引用にあたっては、２重・３重カッコであってもすべてまるカッコに統一した。また、 ベクトルは（小文字）太文字、行列は大文字（非太文字）で表している。

1. `f(-x) = f(x)`
2. `f(2x) = 2f(x) + 1`
3. `f(x) = 1/2(f(x/2)+f((x+1)/2))`
4. `f(x + y) = f(x) + f(y)`
5. `f(x+y) = f(x)f(y)`
6. `f(x+y) = f(x)f(y) + f(x) + f(y)`
7. `f(x+y) = varphi(f(x), f(y))`
8. `f(xy) = f(x) + f(y)`
9. `f((x+y)/2) = 1/2 (f(x) + f(y))`
10. `f(x + y) + f(x - y) = 2f(x)f(y)`
11. `f(x+y) + f(x-y) = 2(f(x) + f(y))`
12. `f(x + y + z) - f(x+ y) - f(y+z) - f(z+x) + f(x) + f(y) + f(z) - f(0) = 0`
13. `f(f(x)) = af(x) + b` (`a, b:` 定数)
14. `f(x+1) - f(x) = x^2`
15. `f(x+1) = xf(x)`
16. `f(x+1)(f(x) + 2) = 1`
17. `f(x + 2h) - 2f(x + h) + f(x) = 0`
18. `af(x+2)+ bf(x+1)+cf(x) = d` (`a, b, c, d:` 定数)
19. `f(x) = f(x -1) + f(x - 2) + cdotscdots + f(2) + f(1)`
20. `f(x) = f(1)f(x-1) + f(2)f(x-2) + cdotscdots + f(x-1)f(1)`
21. `f(x+y) = g(x) + h(y)`
22. `f(x+y) = f(x)g(x) + h(x)`
23. `f((x+y)/2) = g(x) + h(y)`
24. `f(x+y)+f(x-y) = 2f(x)g(y)`
25. `f(x+y) + g(x-y) = h(x)k(y)`
26. `f(x, y) = g(x) + h(y)`
27. `f(x, y) = f(x + y, x - y)`
28. `f(x, y) + f(y, z) = f(x, z)`
29. `f(x, y, z) + f(y, z,x) + f(z, x, y) = 0`
30. `f(xz, yz) = z^kf(x, y)` (`k:` 定数)
31. `f(x+z, y+z) = f(x, y) + kz` (`k:` 定数)
32. `f(x_1, x_2)f(x_3, x_4) + f(x_1, f_3)f(x_4, x_2) + f(x_1, x_4)f(x_2, x_3) = 0`
33. `f(x_1+x_2, y_1+y_2) = f(x_1, y_1) + f(x_1, y_2) + f(x_2, y_1) + f(x_2, y_2)`
34. `f(x_1+x_2 y_1+y_2) =af(x_1, y_1) + bf(x_1, y_2) + cf(x_2, y_1) + df(x_2, y_2)` (`a, b, c, d:` 定数)
35. `f((x_1+x_2)/2, (y_1+y_2)/2) = 1/4(f(x_1, y_1)+f(x_1, y_2) + f(x_2, y_1) + f(x_2, y_2))`
36. `f(x_1+x_2, x_3) + f(x_2+x_3, x_1) + f(x_3 + x_1, x_2) = 0`
37. $ f(\boldsymbol{x} + \boldsymbol{y} ) = f( \boldsymbol{x}) + f(\boldsymbol{y}) $ ( $ \boldsymbol{x, y} $ : `n` 次元ベクトル)
38. `f(XY) = f(X)+f(Y)` (`X, Y`: `m times m` 行列)
39. `f(X + Y) = g(X) + h(Y)`
40. `f(x_1, x_2, x_3) = f(ax_1+b, ax_2+b, ax_3 + b) ( a != 0)`
41. `f(x_1, x_2, x_3, x_4) = f((ax_1+b)/(cx_1+d),(ax_2+b)/(cx_2+d),(ax_3+b)/(cx_3+d),(ax_4+b)/(cx_4+d)) (abs((a,b),(c,d))!= 0)`
42. `f(f(x,u), v) = f(x, u+v)`
43. `f(f(x,y), z) = f(x, f(y,z))`
44. `f(x, f(y,z)) = f(f(x, y), f(x, z))`
45. `{(f(x+y) = f(x)g(y) + g(x)f(y)),(g(x+y) = g(x)g(y) - f(x)f(y)):}`
46. `f_n(s+t) = sum_(k=0)^n f_(n-k)(s)f_k(t) (n = 0, 1, 2 cdots)`
47. `f_n(s, u) = sum_(k=0)^n f_(n-k)(s, t)f_k(t, u) (n = 0, 1, 2, cdots)`
48. $ \boldsymbol{f} $ `(x + y) = ` $ \boldsymbol{f} $ `(x) + ` $ \boldsymbol{f} $ `(y)` ( $ \boldsymbol{f} $ は `n` 次元ベクトル)
49. $ \boldsymbol{f} ( \boldsymbol{x} + \boldsymbol{y} ) = \boldsymbol{f} (\boldsymbol{x}) + \boldsymbol{f} (\boldsymbol{y}) $ ( $ \boldsymbol{x, y} $ は `m` 次元ベクトル、$ \boldsymbol{f} $ は `n` 次元ベクトル)
50. $ \boldsymbol{f} ( (\boldsymbol{x} + \boldsymbol{y}) / 2) = 1/2 (\boldsymbol{f} (\boldsymbol{x}) + \boldsymbol{f} (\boldsymbol{y})) $ ( $ \boldsymbol{x, y} $ は `m` 次元ベクトル、$ \boldsymbol{f} $ は `n` 次元ベクトル)
51. $ \boldsymbol{f} (\boldsymbol{x} + \boldsymbol{y}) = \boldsymbol{g} (\boldsymbol{x}) + \boldsymbol{h} (\boldsymbol{y}) $ ( $ \boldsymbol{x, y} $ は `m` 次元ベクトル、$ \boldsymbol{f} $ は `n` 次元ベクトル)
52. `f(X+Y) = F(X)+F(Y)` (`X, Y: m_1 times m_2` 行列，`F: n times n` 行列)
53. `F(x+y) = F(x) F(y)` (`F: n times n` 行列)
54. `F(x, z) = F(x, y)F(y, z)`
55. `F(X+Y) =F(X)F(Y)`
56. `F(XY) =F(X)F(Y)` (`X, Y: m times m` 行列, `F: n times b` 行列)
57. `F(XZ) = F(X,Y)F(Y,Z)` (`X, Y, Z: m times m_2` 行列、`F: n times n` 行列)
58. `f'(x) = kf(k+1)` (`k:` 定数 )
59. `f_x(x, y) = f(x, y+ 1)`
60. `f(x+y) = f(x) + f(y) + f'(x) + f'(y)`
61. `f(x+y) = f(x)f'(y) + f'(x)f(y)`
62. `f(x-y) = f(x)f'(y) - f'(x)f(y)`
63. `f(x+y) = f(x)f(y) - f'(x)f'(y)`
64. `f(x+h) = f(x) + hf'(x) + cdots + h^(n-1)/((n-1)!)f^(n-1)(x) + h^n/(n!)f^(n)(x + h/(n+1))` (`n, h:` 変数)
65. `f(x+h, y+k) = f(x, y) = hf_x(x+h/2, y+k/2) + kf_y(x+h/2, y+k/2)` (`x, y, h, k:` 変数)

これらの方程式のほとんどは解がのちのページにあり、その番号が示されているが、なかには解答が明示されていないものもある。たとえば、次の方程式だ。

`f(2x) = 2f(x) + 1`

よくやる手は、`x=0` とおいてみることだ。すると、`f(0)=2f(0)+1` となり、`f(0)=-1` が得られる。しかしそれだけである。 `x = 1` のとき、`f(2) = 2f(1) +1` となる。とりあえず `f(1) = c` とおいてみると、`f(2) = 2c+1` となる。以下、`f(2^n)` の値は求まるが、それでいいのか。

気になって本書を調べていたら、p.29 の例題 2. が次の (2.16) 式

`f(nx) = af(x) + b ` (`x gt 0, n : ` 正の定数)

の解となっていた。本書の例題を丸写しするのは気が引けるので、例題の解答に `a = 2, b = 1, n = 2` を代入した結果を以下記す。

`x = e^t` と変換して、`t` を変数とすると、与えられた式は次のようになる。

ここで、`2 = e^(log 2)` であること（対数の底は `e`）を使った。この式の両辺に 1 を加えて

とすることができる。`log abs(f(e^t) + 1) = g(t)` とおけば上式は

となる。ここから先は、本書の３章にある差分方程式の解き方を参考にする。

本書 p.65 以降が差分方程式の解き方である。以下参考にする。`t = t'log2` と変数を変換し、`g(tlog2) = h(t)` と関数も変換すると、解くべき式は

となる。この形の差分方程式は、`c(t')` を周期 1 の関数とすれば、

が解となることがわかる。変換式を戻すと

本当にこれでいいのだろうか。自信が全くない。

関数方程式の解

上記で羅列して引用した関数方程式には、本書に解が載っている。そう思って、(1.26) 式（上記引用では 26 番）の解を探した。解は式 (5.12) だというので p.110 にあるこの式を見ると、

`f(x,y) = -f(y,x)`

この方程式は 5.15* 式の解がある。それは、p.111 にあって、`varphi(x, y)` を任意の関数とすると

`f(x,y) = varphi(x,y) - varphi(y,x)`

だった。ということは、5.12 式の解は、`f(x,y) = varphi(x,y) + varphi(y,x)` (`varphi(x, y)` :任意関数) ということになる。

誤植

「はじめに」の本文上から 5 行目、この分野では，理論の体形が不完全な状態になるので，なるべく小数にとどめたが， とあるが、 正しくは、《この分野では，理論の体系が不完全な状態になるので，なるべく少数にとどめたが，》だろう。

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数式表現は ASCIIMathML を、数式表現はMathJax を用いている。

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