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証明:(自然な)内積の線形性
(舞台設定)
R:実数体R
Rn:実n次元数ベクトル空間
x1,x2,y,x,y1,y2:実n次元数ベクトル
具体的に書くと、x11, x12, …, x1n∈Rとして、x1=( x11, x12, …, x1n )∈Rn
x21, x22, …, x2n∈Rとして、x2=( x21, x22, …, x2n )∈Rn
y1, y2, …, yn∈Rとして、y=( y1, y2, …, yn )∈Rn
x1, x2, …, xn∈Rとして、x=( x1, x2, …, xn )∈Rn
y11, y12, …, y1n∈Rとして、y=( y11, y12, …, y1n )∈Rn
y21, y22, …, y2n∈Rとして、y=( y21, y22, …, y2n )∈Rn
[性質1:線形性1]
任意の実n次元数ベクトルx1,x2,y∈Rnにたいして、(x1+x2)・y=x1・y+x2・y
任意の実n次元数ベクトルx,y1,y2∈Rnにたいして、x・( y1+y2 ) =x・y1+x・y2
すなわち、(∀x1,x2,y∈Rn) ( (x1+x2)・y=x1・y+x2・y )
(∀x,y1,y2∈Rn) ( x・( y1+y2 ) =x・y1+x・y2 )
※なぜ?→証明
[性質2:線形性2]
任意の実n次元数ベクトルx,y∈Rnと任意の実数aにたいして、
(ax)・y=a (x・y), x・(ay)=a (x・y)
すなわち、(∀x,y∈Rn) (∀a∈R) ( (ax)・y=a (x・y) , x・(ay)=a (x・y) )
※なぜ?→証明
[線形性1:証明]
任意の実n次元数ベクトルx1=( x11, x12, …, x1n ), x2=( x21, x22, …, x2n ), y=( y1, y2, …, yn )にたいして、
(x1+x2)・y = (( x11, x12, …, x1n )+( x21, x22, …, x2n ))・y
= ( x11+x21, x12+ x22, …, x1n+x2n )・y ∵数ベクトル空間におけるベクトル和の定義
= ( x11+x21, x12+ x22, …, x1n+x2n )・( y1, y2, …, yn )
= (x11+x21)y1+(x12+x22)y2+…+( x1n+x2n ) yn ∵数ベクトル空間の自然な内積の定義
= x11 y1+x21 y1+ x12 y2+x22 y2+…+ x1n yn+x2n yn ∵実数の分配則
= ( x11 y1+x12 y2+…+ x1n yn ) + ( x21 y1+x22 y2+…+x2n yn ) ∵実数の結合則
= x1・y+x2・y ∵数ベクトル空間における自然な内積の定義
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[
線形性2:証明]
任意の実n次元数ベクトルx=( x1, x2, …, xn ),y=( y1, y2, …, yn )と任意の実数aにたいして、
(ax)・y= (a( x1, x2, …, xn ))・y=( ax1, ax2, …, axn )・y ∵数ベクトル空間におけるスカラー積の定義
=( ax1, ax2, …, axn )・( y1, y2, …, yn )
=ax1y1+ax2y2+…+axnyn ∵数ベクトル空間の自然な内積の定義
= a ( x1y1+x2y2+…+xnyn ) ∵実数の分配則
=a (x・y) ∵数ベクトル空間の自然な内積の定義
x・(ay)=x・(a( y1, y2, …, yn ))=x・( ay1, ay2, …, ayn )
=( x1, x2, …, xn )・( ay1, ay2, …, ayn )
=x1ay1+x2ay2+…+xnayn ∵数ベクトル空間の自然な内積の定義
= a ( x1y1+x2y2+…+xnyn ) ∵実数の分配則
=a (x・y) ∵数ベクトル空間の自然な内積の定義
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(reference)
日本数学会編集『岩波数学辞典(第三版)』 岩波書店、1985年、項目317バナッハ空間(pp.922-):ノルムとノルム空間の解説が含まれている;項目341ヒルベルト空間B.(pp.1006-7):内積の定義が含まれている.
線形代数のテキスト
ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年。
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、4.1内積(p.114);。
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年、Vベクトル空間§6ベクトル空間の公理化(p.117)。
志賀浩二『数学30講シリーズ:線形代数30講』朝倉書店、1988年。
志賀浩二『数学30講シリーズ:ベクトル解析30講』朝倉書店、1988年、第11講(pp.78-80)。
藤原毅夫『理工系の基礎数学2:線形代数』岩波書店、1996年。
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、4章§6計量線形空間(p.120)。
砂田利一『現代数学への入門:行列と行列式』2003年、§7.1-(a)内積 (pp.238-9).
解析学のテキスト
杉浦光夫『解析入門I』東京大学出版会、1987年、I章§4(pp.33-38)。
数理経済学のテキスト
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、§3.2.3(p.124)。
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