命題論理の論理式「¬P」の意味論　：　トピック一覧　　

・ 論理式「¬P」の真理値 /　論理式「¬P」の付値 / 論理式「¬P」の真理関数 /論理式¬Pの真理値表  　　
・ 論理式「¬P」の形成木 /　論理式「¬P」の真理値分析 　　　　

　※命題論理関連ページ：命題論理の論理式 /命題論理の意味論[真理値/真理関数/真理値表] 　　　　
　※　　論理関連ページ：論理記号　　　　
　※総目次


¬Pの呼称・読み 　　　


【呼称】

・論理式「¬P」は、

　　「否定」negation

　と呼ばれる。　　

【読み下し】

・論理式「¬P」は、

　　「Pでない・ということはない」　

　などと読み下される。




【文献】
　・中谷『論理』1.2(pp.6-7)否定
　・清水『記号論理学』§1.1(p.8)。§1.2.2)表1.3真理値表
　・戸田山『論理学をつくる』2.1.3(p.20)
　・野矢『論理学』1-1-2(1)(p.20)
　・戸次 『数理論理学』3.1.1(p.22)　
　・井関『集合と論理』§1.3(pp.12-13)
　・松本『数理論理学』1.1.A.b.3(p.3)





論理式「¬P」の真理値　　 truth-value 　　　


・論理式「¬P」の真理値は、命題変数Pの真理値に依存して、決まる。

・論理式「¬P」の真理値が真になるのは、
　　　命題変数Pの真理値が偽のときだけ。

・論理式「¬P」の真理値が偽になるのは、
　　　命題変数Pの真理値が真のときだけ。[岡田]

　つまり、
　　M(P)=偽のとき、　M(¬P)=真
　　M(P)=真のとき、　M(¬P)=偽

※これをまとめると…　→　論理式¬Pの真理値表　　　　　　　　　　　




【文献】
　・中谷『論理』1.2(pp.6-7)
　・野矢『論理学』1-1-2(1)(p.20).
　・戸田山『論理学をつくる』3.1.2(1) (p.38)　
　・戸次 『数理論理学』定義3.32(p.33)
　・清水『記号論理学』§1.2(p.11)。
　・井関『集合と論理』§1.3(p.13)。
　・高崎金久『数理論理学入門』III. 命題論理の意味論（その１）2.3;3.4真理値割り当て
　●岡田光弘『2008年度論理学I講義ノート』定義3.3論理式の真理値(p.9)





　→　論理式　¬P　：トピック一覧　　　
　→　命題論理の論理式
　→　命題論理の意味論　
→　総目次　　
　　

論理式「¬P」の付値　　valuation 　　　

命題変数Pを含む論理式「¬P」の付値　は、
　[付値1]　命題変数Pに真理値「真」を与える
　[付値2]　命題変数Pに真理値「偽」を与える
の2通り。　

*　まとめると？　→　論理式¬Pの真理値表　　　　
*　どうして？　　→　論理式¬Pの真理値分析　　　　　　





【文献】

　・松本『数理論理学』1.1 定義2(p.4)

論理式「¬P」の真理関数 truth function　,truth -value function


はじめに読む定義

・論理式「¬P」の真理関数とは、
　　　《命題変数Pの真偽》に、
　　　《論理式　¬P　の真偽》を対応づける規則のこと。

*　その規則って、どんなの？　→　¬Pの真理値 / 論理式¬Pの真理値表　　　　

厳密な定義　〜　「真理値」「関数」の概念を用いて

・論理式「¬P」の真理関数とは、
　　命題変数Pの真理値 M(P) の各々の値(付値)に、
　　論理式「¬P」の真理値 M(¬P)
　　を対応づける関数
　　　M(¬P) ＝  f¬ ( M(P) )
　　のこと。

*　この関数f¬って、どんなの？　→　¬Pの真理値 / 論理式¬Pの真理値表　　　

厳密な定義　〜　「真理域」「写像」の概念を用いて

・論理式「¬P」の真理関数とは、
　　《命題変数Pの真理域》から、《論理式「¬P」の真理域》への写像
　　　 f¬: 《Pの真理域》→《¬Pの真理域》
　　のこと。

*　この写像 f¬ って、どんなの？　→　¬Pの真理値 / 論理式¬Pの真理値表　　




【文献】
　・中谷『論理』1.2(pp.6-7)
　・野矢『論理学』1-1-2(1)(p.20)
　・戸田山『論理学をつくる』3.1.2(1) (p.38)
　・戸次 『数理論理学』定義3.32(p.33)
　・清水『記号論理学』§1.2(p.11)。
　・松本『数理論理学』1.1 A.b.3(p.2)negation;　



　


論理式¬Pの真理関数の真理値表


・論理式¬P の真理値表は、下表の通り。
P ¬P
真 偽
偽 真
　　　　　

*　なんで、こうなるの？　　→　論理式「¬P」の真理値分析　


・論理式¬P の真理値表は、

　　論理式¬P の真理関数 f¬ のグラフ　　
　　　　　すなわち、




【文献】
　・中谷『論理』1.2(pp.6-7)
　・野矢『論理学』1-1-2(1)(p.20)
　・戸田山『論理学をつくる』3.1.2(1) (p.38)
　・清水『記号論理学』§1.2(p.11)。
　・松本『数理論理学』1.1 A.b.3(p.2)negation
　・戸次 『数理論理学』定義3.32(p.33)
　・井関『集合と論理』§1.3(p.13)。
　・高崎金久『数理論理学入門』III. 命題論理の意味論（その１）2.3;3.4真理値割り当て



　


　　　　　　　命題変数Pの真理値 M(P) と  f¬(M(P))との順序対 (M(P), f¬(M(P)) ) をすべて集めた集合
　を、表に書き出したものにあたる。　[戸次3.2.3(p.35)]
　→　論理式　¬P　：トピック一覧　　　
　→　命題論理の論理式
　→　命題論理の意味論　
→　総目次　　
　　

論理式「¬P」の形成木　formation tree

・論理式¬Pの形成木formation tree とは、

　　¬P が「Pから帰納的に定義される論理式」に認定されるに至ったプロセスを、

　　　　Pの認定ステップから、

　　　　¬P そのものの認定ステップまで、

　　再現してたどり直し、
 【一般的に】
　→1個の命題変数を含む論理式の形成木


【文献】

　・戸田山『論理学をつくる』2.2.2(p.26);3.5.2真理値割り当て(p.57)


　　各ステップで認定した「Pから帰納的に定義される論理式」を特定した下記履歴のこと。

　　　　(step1)　[定義-条件1]より、「P」 を、 Pから帰納的に定義される論理式に認定。　

　　　　　　　　* ここでの認定されたPの真理値は、真理値決定原理(1)によって定まる。　

　　　　(step2)　(step1)で「Pから帰納的に定義される論理式」に認定された Pを、
　　　　　　　　　　[定義-条件2]の「¬A」の A
　　　　　　　　　に代入した「¬P 」を、
　　　　　　　　　Pから帰納的に定義される論理式に認定。

　　　　　　　　* 　(step2)での認定と同時に、
　　　　　　　　　　　真理値決定原理(2-1)に従って、
　　　　　　　　　　　(step2)で認定された「　¬P 」の真理値が、
　　　　　　　　　　　(step1)で認定され、真理値も確定した「Pから帰納的に定義される論理式」をもとに、
　　　　　　　　　　　定まる。　

　　　　[論理式認定プロセス完了]

　→　論理式　¬P　：トピック一覧　　　
　→　命題論理の論理式
　→　命題論理の意味論　
　→　総目次　　

¬P の真理値分析　 truth-value-analysis  

　→　真理値分析とは？
　→　真理値分析の手順

【真理値分析とは？】

・論理式¬Pについての真理値分析とは、

　[目的]

　　論理式¬Pの真理関数　
　　　すなわち、
　　　《命題変数Pの真偽》(付値)に対して、
　　　《論理式¬Pの真偽》を対応づける規則
　　を明らかにするために、

　[方法]

　　論理式の真理値の決定原理に従って、　　　
 【真理値分析の一般】
　→1個の命題変数のみを含む論理式の真理値分析




【文献】
　・野矢『論理学』1-1-4(p.35). 　　　　　
　・戸田山『論理学をつくる』3.2(p.41);3.5(p.54)　;
　●戸田山『論理学をつくる』3.5.1真理値分析とは何をやることだったのか3.5.2真理値割り当て(pp.55-8)：真理値割り当てから、真理値分析でやっていたことを理解すると。。。



　・清水『記号論理学』§1.2(p.12)"truth value analysis"。

　　¬Pの形成木の各ステップで認定した「Pから帰納的に定義される論理式」の真理値を、
　　順次確定していくことによって、

　[作業]

　　論理式¬Pの真理値表を書き出す作業
　　　　すなわち、《命題変数Pの真偽》(付値)(2通り)に対応する《論理式¬Pの真偽》を書き出す作業　

　のこと。

【真理値分析の手順】

 　[手順1]　論理式　¬P　の形成木を作成　

　　　　　　　　(step1)P を、 Pから帰納的に定義される論理式に認定。
　　　　　　　　(step2)　「¬P 」を、Pから帰納的に定義される論理式に認定。


　[手順2]　命題変数Pの真偽(付値)に対する、
　　　　　　　論理式　¬P　の形成木の各ステップで認定した「Pから帰納的に定義される論理式」の真理値を、　
　　　　　　論理式の真理値の決定原理に従って確定。　

　　　　　　　　(step1)　(付値1)　命題変数Pに与えた真理値「真」に対して、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　Pの真理値は、論理式の真理値の決定原理(1)より、「真」。
　　　　　　　　　　　　(付値2)　命題変数Pに与えた真理値「偽」に対して、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　Pの真理値は、論理式の真理値の決定原理(1)より、「偽」。

　　　　　　　　(step2)　(付値1)　命題変数Pに与えた真理値「真」に対して、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　¬Pの真理値は、(step1)と、論理式の真理値の決定原理(2-1)より、「偽」。
　　　　　　　　　　　　(付値2)　命題変数Pに与えた真理値「偽」に対して、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　¬Pの真理値は、(step1)と、論理式の真理値の決定原理(2-1)より、「真」。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　[手順3]　結果を真理値表にまとめる。
　【論理式 ¬Pの真理値表】

 P

　論理式P　

　論理式¬P　
[付値1]　Pに真理値「真」を与える→
 　真　 　真　　偽　
[付値2]　Pに真理値「偽」を与える→ 　偽　 　偽　　真　


　→　論理式　¬P　：トピック一覧　　　
　→　命題論理の論理式
　→　命題論理の意味論　
　→　総目次