集合関数の例8　R³上の区間塊の体積

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　　　　　　　　　　　　Rⁿ上区間塊のn次元体積）
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集合関数の例8　R³上の区間塊の体積とその一般化　
[伊藤『ルベーグ積分』I予備概念§3点関数と集合関数:例3(pp.13-15) ;高木『解析概論』113節Euclid空間区間の体積(pp.421-3).]　
(設定)　
　R³　：　3つの「実数の全体の集合」Rの直積。
　　　　　R×R×R＝{ (x ,y ,z ) |x ∈Rかつ y ∈R かつ z ∈R }　
　I_k　(k=1,2,…,n)：互いに素な、有限個の、R³上の有界な左半開区間（左下辺を含まず、右上辺を含む直方体）。
　　　　すなわち、
　　　　　−∞< <a_k< b_k<＋∞,−∞< <c_k< d_k<＋∞,−∞< <e_k< f_k<＋∞(k=1,2,…,n)　　として、
　　　　　　　　I_k＝(a_k , b_k] ×(c _k ,d _k] ×(e _k ,f _k]
　　　　　　　　　＝{ (x ,y ,z ) |x ∈(a_k , b_k] かつ y ∈(c _k ,d _k] かつ z ∈(e _k ,f _k] }　(k=1,2,…,n)　
　　　　　　　　　＝{ (x ,y ,z ) | a_k <x≦b_k かつ c _k <y≦d _k かつ e _k <z≦f _k }　 (k=1,2,…,n)　
　　　　　※左半開区間I_kは、R³の部分集合となっている。
　A　：左半開区間I_kとして考えられ得るもの全てを集めてきた集合系(族)。
　　　　　※左半開区間は、R³の部分集合だから、
　　　　　　Aは R³の部分集合系(族)となっている。　
　　　　　※以上のように、I_k, Aを定義するとき、　I_k ⊂ R³かつI_k ∈A　は満たされている。
　Ψ(I)：R³上の有界な左半開区間(直方体で、左・下の辺は含まず、右・上の辺は含むもの。)
　　　I=(a,b]×(c,d] ×(e,f]　, −∞< a< b <＋∞,−∞< c< d <＋∞,−∞< e< f <＋∞　に対して、
　　　　Ψ(I) ={ f₁ (b)−f₁ (a) } { f₂ (d)−f₂ (c) } { f₃ (b₃)−f₃ (a₃) }＞0　ただし、Ψ(φ) = 0
　　　で定義された実数値A -集合関数。
　　　　　　　　→詳細　
　E　：互いに素な有限個の有界な左半開区間I_kの直和として表される集合(区間塊)の一つ。
　　　　　すなわち、互いに素なI_k　(k=1,2,…,n)に対して、E=I₁＋I₂＋…＋I_n　　　　
　　　　　※有限個の左半開区間の直和は、R³の部分集合となっている。
　B　：　集合Eとして考えられ得るもの全てを集めてきた集合系(族)。
　　　　　※有限個の左半開区間の直和は、R³の部分集合だから、
　　　　　　BはRの部分集合系(族)となっている。　
　　　※以上のように、E, Bを定義するとき、　E⊂ R³かつE∈B　は満たされている。　　
(本題)　　
μ(E)=Ψ(I₁)＋Ψ(I₂)＋…＋Ψ(I_n)　
は、B-集合関数となる。　
　このうち特に、
　　　f₁ (x)= f₂ (x)= f₃ (x)=x　として　Ψ(I)=(b−a) (d−c) (e−f)とした際のμ(E)は、
　　直方体を組み合せた図形Eの体積の和となる。

日本数学会編集『岩波数学事典(第三版)』 岩波書店、1985年。項目162A(pp428-429), 163 (p.432)
伊藤清三『ルベーグ積分』I予備概念§3点関数と集合関数(p.11-3)
高橋一『経済学とファイナンスのための数学』新世社、1999年。 pp.1-4.
Cramer, Harald,1946 Mathematical Methods of Statistics, Princeton UP.
=クラメール『統計学の数学的方法:第1巻』東京図書、1973年、6.2集合関数と点関数(pp.47-48)。
高木貞治『解析概論:改訂第3版』岩波書店、1983年、第9章Lebesgue積分,II.Lebesgueの測度および積分, 113Euclid空間区間の体積(pp.421-3).