実数の十進近似列の具体例
「随伴する数列」「随伴する整数列」「十進近似列」は、
実数の小数表示の理論付け・定義づけのための準備として、しつらえられている。
しかし、何をやっているのか、これだけでは、わかりづらい。
そこで、順序はあべこべになるけれども、
実数を小数として表示できることを前提してしまったとき、
「随伴する数列」「随伴する整数列」「十進近似列」は、何を意味するのか？
具体的な数値例を通して、みてみよう。
[具体例]
・「有限桁の小数で表せる正の有理数」の十進近似列（定義1/定義2）
・「有限桁の小数で表せる負の有理数」の十進近似列 （定義1/定義2）
・「循環小数で表せる正の有理数」の十進近似列（定義1/定義2）
・「循環小数で表せる負の有理数」の十進近似列（定義1/定義2）
・「循環しない無限桁の小数でしか表せない正の無理数」の十進近似列（定義1/定義2）
・「循環しない無限桁の小数でしか表せない負の無理数」の十進近似列（定義1/定義2）
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-1/7 の十進近似列(定義1)
cf.-1/7の十進近似列(定義2)
・−1/7＝−0.142857 142857 …＝−1+(6/7)＝−1+0.857142 857142 … に随伴する数列とは、以下の数列。
a1＝10（−1/7−[−1/7]）＝10（−0.142857 142857 …−[−0.142857 142857 …]）＝10（−0.142857 142857 … −(−1)）＝10・(1−0.142857 142857 …)＝10・0.857142 857142 … ＝8.57142 857142 …
要するに、a1は、−1/7を−1+0.857142…と表したときの、0.857142…を10倍して、一桁ずらしたもの。
a2＝10（a1−[a1]）＝10（8.57142 857142 …−[8.57142 857142 …]）＝10（8.57142 857142…−8）＝ 10・0.57142 857142…＝5.7142 857142 857142…
要するに、a2は、−1/7を−1+0.857142…と表したときの、0.857142…の小数点以下第一位を消去したものを、100倍して、2桁ずらしたもの。
a3＝10（a2−[a2]）＝10（5.7142 857142…−[5.7142 857142…]）＝10（5.7142 857142…−5）＝10・0.7142 857142…＝7.142 857142 857142…
要するに、a3は、−1/7を−1+0.857142…と表したときの、0.857142…の小数点以下第二位までを消去したものを、1000倍して、3桁ずらしたもの。。
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an ＝「−1/7を−1+0.857142…と表したときの、0.857142…の小数点以下第(n−1)位までを消去したものを、10n倍して、n桁ずらしたもの」
an+1＝「−1/7を−1+0.857142…と表したときの、0.857142…の小数点以下第n位までを消去したものを、10n+1倍して、n+1桁ずらしたもの」
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−1/7＝−0.142857 142857 …＝−1+(6/7)＝−1+0.857142 857142 … に随伴する整数列とは、以下の数列。
d1＝[a1]＝[8.57142 857142 …]＝8 つまり、−1/7を−1+0.857142…と表したときの、0.857142…の小数点以下第1位
d2＝[a2]＝[5.7142 857142…]＝5 つまり、−1/7を−1+0.857142…と表したときの、0.857142…の小数点以下第2位
d3＝[a3]＝[7.142 857142…] ＝7 つまり、−1/7を−1+0.857142…と表したときの、0.857142…の小数点以下第3位
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dn ＝「−1/7を−1+0.857142…と表したときの、0.857142…の小数点以下第n位」
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−1/7＝−0.142857 142857 …＝−1+(6/7)＝−1+0.857142 857142 …の十進近似列とは、以下の数列。
r1＝[−1/7]＋d1/10 ＝[−0.142857 142857 …]＋1/10 ＝0.1 つまり、1/7＝0.142857 142857 …の小数点以下第一位までを残し、小数点以下第二位以下を切り捨てたもの。
r2＝[−1/7]＋d1/10＋d2/100 ＝[−0.142857 142857 …]＋1/10＋4/100 ＝0.14 つまり、1/7＝0.142857 142857 …の小数点以下第二位までを残し、小数点以下第三位以下を切り捨てたもの。
r3＝[−1/7]＋d1/10＋d2/100＋d3/103＝[−0.142857 142857 …]＋1/10＋4/100＋2/103＝0.142 つまり、1/7＝0.142857 142857 …の小数点以下第三位までを残し、小数点以下第四位以下を切り捨てたもの。
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rn ＝「−1/7を−1+0.857142…と表したときの、0.857142…の小数点以下第n位までを残し、小数点以下第(n+1)位以下を切り捨てたもの。」
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ここで、−1/7の十進近似列 の極限とは？−1/7の小数表示−1+0.857142…にほかならない。
＝[−1/7]+d1/10+d2/100+d3/103+…
＝−1 +8/10+5/100+7/1000＋…
＝−1 +0.857142…
→[冒頭/結論]
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| -1/7 の十進近似列(定義2)
cf.-1/7の十進近似列(定義1)
step1-1:d1とは？
d1を、「d1/10≦r−[r]＜(d1+1)/10」を満たす「0から9までの整数」に、定める。
r−[r]＝9/8−[9/8]＝1.125−[1.125]＝1.125−1＝0.125だから、
「d1/10≦r−[r]＜(d1+1)/10」を満たす「0から9までの整数」d1とは、1。
つまり、d1は、9/8＝1.125の小数点以下第一位。
step1-2:r1とは？
r1＝[r]＋d1/10＝[9/8]＋1/10＝1.1 つまり、r1は、9/8＝1.125の小数点以下第一位までを残し、小数点以下第二位以下を切り捨てたもの。
step2-1:d2とは？
d2を、「d2/100≦r−r1＜(d2+1)/100」を満たす「0から9までの整数」に、定める。
r−r1＝9/8−1.1＝1.125−1.1＝0.025だから、
「d2/100≦r−r1＜(d2+1)/100」を満たす「0から9までの整数」d2とは、2。
つまり、d2は、9/8＝1.125の小数点以下第二位。
step2-2:r2とは？
r2＝[r]＋d1/10＋d2/100＝[9/8]＋1/10＋2/100＝1.12 つまり、r2は、9/8＝1.125の小数点以下第二位までを残し、小数点以下第三位以下を切り捨てたもの。
step3-1:d3とは？
d3を、「d3/103≦r−r2＜(d3+1)/103」を満たす「0から9までの整数」に、定める。
r−r2＝9/8−1.12＝1.125−1.12＝0.005だから、
「d3/103≦r−r2＜(d3+1)/103」を満たす「0から9までの整数」d3とは、5。
つまり、d3は、9/8＝1.125の小数点以下第三位。
step3-2:r3とは？
r3＝[r]＋d1/10＋d2/100＋d3/103＝[9/8]＋1/10＋2/100＋5/103＝1.125 つまり、r3は、9/8＝1.125の小数点以下第三位までを残し、小数点以下第四位以下を切り捨てたもの。
step4-1:d4とは？
d4を、「d4/104≦r−r3＜(d4+1)/104」を満たす「0から9までの整数」に、定める。
r−r3＝9/8−1.125＝1.125−1.125＝0だから、
「d4/104≦r−r3＜(d4+1)/104」を満たす「0から9までの整数」d4とは、0。
つまり、d4は、9/8＝1.125の小数点以下第四位。
step4-2:r4とは？
r4＝[r]＋d1/10＋d2/100＋d3/103＋d4/104＝[9/8]＋1/10＋2/100＋5/103＋0/104＝1.1250 つまり、9/8＝1.125の小数点以下第四位まで表示したもの。
step5-1:d5とは？
d5を、「d5/105≦r−r4＜(d5+1)/105」を満たす「0から9までの整数」に、定める。
r−r4＝9/8−1.1250＝1.125−1.1250＝0だから、
「d5/105≦r−r4＜(d5+1)/105」を満たす「0から9までの整数」d5とは、0。
つまり、d5は、9/8＝1.125の小数点以下第五位。
step5-2:r5とは？
r5＝[r]＋d1/10＋d2/100＋d3/103＋d4/104＋d5/105＝[9/8]＋1/10＋2/100＋5/103＋0/104＋0/105＝1.12500 つまり、9/8＝1.125の小数点以下第五位まで表示したもの。
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step (n+1)-1:dn+1とは？
dn+1を、「dn+1/10n+1≦r−rn＜(dn+1+1)/10n+1」を満たす「0から9までの整数」に、定める。
r−rn＝9/8−1.1250…0＝1.125−1.1250…0＝0だから、
「dn+1/10n+1≦r−rn＜(dn+1+1)/10n+1」を満たす「0から9までの整数」dn+1とは、0。
つまり、dn+1は、9/8＝1.125の小数点以下第(n+1)位。
step5-2:rn+1とは？
rn+1＝[r]＋d1/10＋d2/100＋d3/103＋d4/104＋d5/105＋…＋dn+1/10n+1＝[9/8]＋1/10＋2/100＋5/103＋0/104＋0/105＋…＋0/10n+1＝1.12500…0 つまり、9/8＝1.125の小数点以下第(n+1)位まで表示したもの。
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