一次写像が単射(1対1写像)・全射であるための条件 : トピック一覧
・一次写像が単射(1対1写像)であるための必要十分条件:
1
/
2
・
一次写像が全射であるための必要十分条件
※一次写像関連ページ:
一次写像−定義
、
ベクトル演算の一次写像
、
一次写像と線形独立
、
一次写像の階数
同型写像
、
同型写像と線形独立
※
実ベクトル空間のあいだの一次写像が単射・全射であるための条件
→
線形代数目次
→
総目次
定理:一次写像が単射(1対1写像)であるための必要十分条件―核に関して
[永田『
理系のための線形代数の基礎
』補題1.3.3(p.20)補題1.6.1(p.36)証明付;志賀『
線形代数30講
』16講(p.101-2);
砂田『
行列と行列式
』§5.3-a補題5.26(p.164)]
【舞台設定】
K:
体
(例:有理数をすべてあつめた集合Q、
実数をすべて集めた集合
R、複素数をすべてあつめた集合C)
V :K
上のベクトル空間
V' :K
上のベクトル空間
【本題】
「
一次写像
f
:
V
→
V'
が
単射
(1
対
1
写像
)
である」ための
必要十分条件は
、
「
f
によって
0
∈
V'
に写される『
V
に
属す
ベクトル
』は、
0
∈
V
に限られる」ということ。
すなわち、
次の
4
つの命題は、
同値
である。
命題
P
:
一次写像
f
:
V
→
V'
が
単射
(1
対
1
写像
)
である。
命題
Q
:
一次写像
f
:
V
→
V'
について、「
任意の
v
∈
V
に対して、
f
(
v
)=
0
⇒
v
=
0
」が成り立つ。
命題
R
:
一次写像
f
:
V
→
V'
について、「
任意の
v
∈
V
に対して、
v
≠
0
⇒
f
(
v
)
≠
0
」が成り立つ。
命題
S
:
一次写像
f
:
V
→
V'
について、
Ker
f
=
{
0
}
※
なぜ?→
証明
※
活用例→
「一次写像が単射(1対1写像)であるための必要十分条件―階数に関して」の証明
定理:一次写像が単射(1対1写像)であるための必要十分条件―階数に関して
[永田『
理系のための線形代数の基礎
』系1.6.3(p.37)]
【舞台設定】
K:
体
(例:有理数をすべてあつめた集合Q、
実数をすべて集めた集合
R、複素数をすべてあつめた集合C)
V :K
上のベクトル空間
V' :K
上のベクトル空間
【本題】
次の2つの命題は、
同値
。
命題P:
一次写像
f
:V→V' が
単射(1対1写像)
である。
命題Q:
一次写像
f
の
階数
と、K
上のベクトル空間
Vの
次元
が等しい。
つまり、
rank
f
=
dim
V
→
トピック一覧:一次写像−単射・全射
→
線形代数目次
・
総目次
定理:一次写像が全射であるための必要十分条件
[永田『
理系のための線形代数の基礎
』系1.6.3(p.37)]
【舞台設定】
K:
体
(例:有理数をすべてあつめた集合Q、
実数をすべて集めた集合
R、複素数をすべてあつめた集合C)
V :K
上のベクトル空間
V' :K
上のベクトル空間
【本題】
次の2つの命題は、
同値
。
命題P:
一次写像
f
:V→V' が
単射(1対1写像)
である。
命題Q:
一次写像
f
の
階数
と、K
上のベクトル空間
V'の
次元
が等しい。
つまり、
rank
f
=
dim
V'
(
reference
)
日本数学会編集『
岩波数学辞典
(第三版)』 岩波書店、1985年、項目210線形空間(pp.570-576)
線形代数のテキスト
志賀浩二『数学30講シリーズ:線形代数30講』朝倉書店、1988年、16講線形写像(pp.100-105)。
ホフマン・クンツェ『
線形代数学I
』培風館、1976年、2.3基底と次元(pp.41-50)。
永田雅宜『
理系のための線形代数の基礎
』紀伊国屋書店、1986年、1.3ベクトル空間(pp.14-6)。
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年、Vベクトル空間§6ベクトル空間の公理化(p.115)。線形従属・独立については、数ベクトルに限定?
藤原毅夫『理工系の基礎数学2:
線形代数
』岩波書店、1996年、4.1線形空間と写像(p.91)。 線形従属・独立については、数ベクトルに限定?
斎藤正彦『
線形代数入門
』東京大学出版会、1966年、第4章§2線形空間(p.96):実線形空間・複素線形空間のみ;附録V§2体(p.249)。
砂田利一『現代数学への入門:
行列と行列式
』2003年、§5.1(p.159).
代数学のテキスト
本部均『新しい数学へのアプローチ5:
新しい代数
』共立出版、1969年、5.2-Aベクトル空間(p.132)。
酒井文雄『共立講座21世紀の数学8:
環と体の理論
』共立出版、1997年、1.6ベクトル空間(p.22)。:数ページしか触れていないが、逆に、一般の線形空間の理論の骨組みだけを浮かびあがってくるので、何が重要事項なのかを見極める上で便利。
数理経済学のテキスト
神谷和也・浦井憲『
経済学のための数学入門
』東京大学出版会、1996年、§3.1ベクトル空間とは何か(p.105)。