飯高茂：環論、これはおもしろい

概要

副題は「素因数分解と循環小数への応用」

イデアルと最大公約数

pp.7-8 では、与えられた自然数 `a, b` に対してこれらの最大公約数 `d` と、 `d = ax + by` を満たす整数 `x, y` を求めるアルゴリズムがイデアルを用いて説明されている。 アルゴリズムは以下の通りであるが私の記述が稚拙なので、正しくわかりやすい説明は本書を参照してほしい。

1. 3 次ベクトル `v_i (i = 0, 1, 2, cdots)` の初期値を次で定義する。
   `v_0 = (1, 0, a), v_1 = (0, 1, b), v_2(1, q_1, -r_1).`
   ただし、`q_1, r_1` はそれぞれ `a` を `b` で割った商および余りである。
2. `h = 2` とおく。
3. `v_h` の第 3 成分が 0 であれば 5. に行く。
4. `v_(h-1)` の第 3 成分を `v_h` の第 3 成分で割った商を `q` とし、`v_(h+1) = v_(h-1) - qv_h` を計算して `h = h+1` とし、3. に戻る。
5. `v_(h-1) = (x, y, d)` とするとこれが求める `d, x, y` である。

この計算を JavaScript で実装してみた。a と b に自然数を入れて [計算] ボタンをクリックすると、 最大公約数 `d` とそれを生成する `x, y` を出力する。

このアルゴリズムの実装については、「最大公約数とユークリッドの互除法」 で述べた。

十六夜環

本書をペラペラとめくっていると、「十六夜環」なる文字が目に入った。記述を引用する。

`t` を変数とするとき `R = CC[t]` は多項式環であり，その既約元は 1 次式 `at+b(a != 0)` である．
`R_0 = CC[t^2, t^3]` とおくと，`t^4 = t^2t^2, t^5 = t^2t^3, cdots` により， `t` を除く `t^n` はすべて `R_0` の元になり `R_0` は `R = CC[t]` の部分環である． これを十六夜環という．（後略）

十六夜環には注釈がある。

いざよいかん．`R = CC[t]` はすべての `t^n` を含むが `R_0` では `t` が欠けている． 一方，満月の翌日の月は少し欠けるので「十六夜の月」という．そこで `R_0` を「十六夜環」 と呼ぶことを，卒業研究で係数体が 2,3 元体の場合に `R_0` を研究した染谷氏の提案．

なるほどなあ。まだそれでもわからなかったので調べると、昔の日本は太陰暦で、 （天体の）月の満ち欠けがそのまま（暦の）月の日になったという。月の満ち欠けの周期は約 29.5 日で、 月の 1 日は必ず新月（朔）であるので、月の 15 日が満月（望）となる。となると、 16 日は満月に少し足りなくなるので、十六夜という文字が充てられるということだ。 この名前を持ってきたところがしゃれている。

数式の記述

数式表現は ASCIIMathML を、 数式表現はMathJax を用いている。

数学のかんどころ

• 大関清太:不等式
• 若林功:多変数関数論
• 早野嘉宏:早わかりベクトル解析
• 飯高茂:群論、これはおもしろい

書誌情報

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