解説: 『ブランコをこぐ』の物理的意味-(1)

 

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振り子の運動方程式:



 上図のように,長さ $l$ の糸の先端に質量 $m$ の小球が結びつけられた単振り子の運動方程式は,以下のようになる。(詳しくは「単振り子の解説」を参照。)\[ m\,l\dif{\theta^2}{t^2}=m\,l\dif{\omega}{t}=-m\, g \sin\theta \\ ただし,角速度 \omega=\dif{\theta}{t}\]  さらに上式の両辺に長さ $l$ を乗じると,\[m\,l^2\dif{\omega}{t}=-m\,g \, l\sin\theta\]  ここで,上式の右辺 $-m\,g \, l\sin\theta$ は,この振り子にかかる重力の支点Oのまわりのモーメント $N$ にほかならない。また左辺の $\displaystyle\dif{\omega}{t}$ にかかる係数 $m\,l^2$ は,この場合における小球の支点Oのまわりの慣性モーメントと呼ばれる物理量で,一般に $I$ などの文字で表す。よって上式は\[I\dif{\omega}{t}=N\]と書ける。これがこの小球の点Oのまわりの回転に関する運動方程式となる。
 しかしこれは,慣性モーメント $I$ が変化しない場合の話である。本ケースの場合であれば $I=m\,l^2$ であるから,糸の長さ $l$ が変化しない場合にしか適用できない。

 糸の長さ $l$ が変化するとき慣性モーメント $I$ そのものが変化するので,その影響も考慮する必要がある。この場合には$I$ の時間変化による効果を加えて,以下のようになる。\[I\tdif{\omega} + \tdif{I}\omega=N \]  以上より,一般に回転に関する運動方程式は,以下のように表すことができる。\[\tdif{}(I\,\omega)=N\]  ここで,慣性モーメントと角速度の積 $L=I\omega$ で表される物理量を角運動量という。この角運動量を用いて表すと,次のようにまとめることができる。

 角運動量の時間変化は,力のモーメントに等しい。\[\color{red}{\dif{L}{t}=\bun{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(I\omega)=N }\cdots\cdots\maru{1} \]  上式は固定された回転軸を有する物体の場合であるが,回転軸を持たない物体の場合についても上記の関係は成り立つ。詳細は後述(ここをクリック)。





  解説-(2) 『 こぐ』 を数式化に続く。