解説: 単振り子の運動 解説

 

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単振り子の運動方程式:


 上図において,最下点Pからの小球の変位を$s$,糸の回転角を$\theta$とすると,\[ s=l\times\theta\]これを2回時間微分することによって,小球の円運動接線方向の加速度$\alpha$となる。\[ \alpha=\bun{\mathrm{d}^2s}{\mathrm{d}t^2}=l\bun{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}t^2}\]  よって小球の接線方向の運動方程式は,\[ m\alpha=ml\bun{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}t^2}=-mg\sin\theta \cdots\cdots\maru{1}\\(\Rightarrow \quad\therefore ml^2\bun{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}t^2}=-mgl\sin\theta=N\quad)\\(N:小球の回転軸Oのまわりのモーメント)\]  $\maru{1}$式より,\[ \bun{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}t^2}=-\bun{g}{l}\times \sin\theta \cdots\cdots\maru{2} \] 上式において,$\sin\theta$がどのように扱えるかによって,単振動と近似できるかそうでないかが分かれることになる。

単振動としての近似
 角振幅$\theta_0$が十分小さい場合,角$\theta$も小さいので,$\sin\theta \kinji \theta$と近似でき,これより$\maru{2}$式は,\[ \bun{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}t^2}=-\bun{g}{l}\times \sin\theta \kinji -\bun{g}{l}\times\theta \cdots\cdots\maru{3} \]  ここで$\omega=\kon{\bun{g}{l}}$とおけば,\[ \bun{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}t^2}=-\omega^2\times \theta \]となり,角$\theta$は時間とともに単振動変化をすることになる。その周期$T$は,\[ T=\bun{2\pi}{\omega}==2\pi\kon{\bun{l}{g}} \]となる。よって周期$T$は振幅に関係なく,振り子の長さと重力加速度のみで決まることになる(等時性)。

円運動としての処理 - 周期は振幅に依存
 これに対して角振幅$\theta_0$があまり小さくなく,$\sin\theta \kinji \theta$という近似が適用できない場合,$\maru{2}$式のまま方程式を解かなければならない。この2階微分方程式から周期を求めることは容易ではない。
【参考】周期を求めるには次のようにしていく。
 角振幅を$\theta_0$として,エネルギー保存則より,\[ \bun{1}{2}mv^2+mgl(1-\cos\theta)=0+mgl(1-\cos\theta_0) \\ \therefore \bun{1}{2}mv^2=\bun{1}{2}m\bigg(l\bun{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}\bigg)^2=mgl(\cos\theta-\cos\theta_0) \\ \therefore \bun{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=\kon{\bun{2g}{l}}\kon{\cos\theta-\cos\theta_0}\\ \therefore \mathrm{d}t=\kon{\bun{l}{2g}}\bun{\mathrm{d}\theta}{\kon{\cos\theta-\cos\theta_0}} \] ここで運動の対称性から明らかなように,求める周期は$0 \le \theta \le \theta_0$の運動の4倍になるので,\[ T=4\kon{\bun{l}{2g}}\int^{\theta_0}_0 \bun{\mathrm{d}\theta}{\kon{\cos\theta - \cos\theta_0}} \] 上式をさらに式変形すると,第1種完全楕円積分とよばれる積分形になります。この積分では解析的な解を出すことはできず,パソコンなどによる数値解析で計算していくことになります。下図にその計算結果を示します。

 この場合周期は振れ角振幅に依存し,振れ角振幅が大きくなるほど周期は大きくなる。この様子を下図の青線に示す。横軸は振れ角振幅を,縦軸は周期$T$が,単振動と見なせる時の周期$T_0=2\pi\kon{l/g}$の何倍になるかを示してある。振れ角振幅が$\pi$に近づくと(たとえば軽い棒の先におもりを付けて真上近くまで持ち上げて放す),周期は急激に増大していく様子が分かる(振れ角$=\pi$では振り子は回転し始めないので,周期は無限大となる)。