以下では簡単化のため，Ｐ・Ｑ間にはばねの弾性力しかはたらいていないという前提で話を進めます。
この場合，ばねの両端に物体Ｐと台Ｑが結ばれているのと変わりませんので，図１のように，台Ｑも物体Ｐもそれぞれ床上を運動しているとして考えていくことにします。
この場合のように，複数の物体が互いに力を及ぼし合っている力学系の処理法としては，一般に，重心の運動と重心に対する相対運動とに分解して考えていくと処理しやすくなります。
Ｐ・Ｑにはたらくばねの弾性力は作用反作用の関係にあり，Ｐ・Ｑの系にとって内力となります。したがって，この系の運動量が保存されます。質点系の重心の速度 $v_\mathrm{G}$ は \[v_\mathrm{G} = \bun{\Sigma\,m_i\,v_i}{\Sigma\,m_i} = \bun{運動量}{全質量}\] で与えられるので，運動量が保存される場合，重心の速度 $v_\mathrm{G}$ は一定です。すなわち，重心Ｇは等速度運動，もしくは静止を続けることになります。したがって重心Ｇは慣性系ということになり，重心Ｇに対するＰ，Ｑの相対運動を考える際にもＰ，Ｑにはたらく力としてはばねの弾性力のみを考えればよいことになります。
以下，物体Ｐ，台Ｑの質量をそれぞれ $m$ ， $M$ ，ばねの自然長を $l$ ，ばね定数を $k$ とします。
重心Ｇに対する相対運動を考えるために，図２のように，重心Ｇに固定した（重心Ｇとともに動く）座標系 $x'$ （図２の赤線の座標軸）を用意し，Ｐ，Ｑの座標を重心Ｇを原点とした座標 $x_\mathrm{P}{}'$ ， $x_\mathrm{Q}{}'$ で表すことにします。このときのばねの伸びは $(\,x_\mathrm{P}{}' - x_\mathrm{Q}{}' - l\,)$ となるので，重心Ｇに対するＰ，Ｑの運動方程式は，\[\kern-1em \mathrm{P}:\quad m\ddif{x_\mathrm{P}{}'}{t} = -\,k \,(\,x_\mathrm{P}{}' - x_\mathrm{Q}{}' - l\, ) \quad\cdots\cdots\maru{1}\\ \kern-1em \mathrm{Q}:\quad M\ddif{x_\mathrm{Q}{}'}{t} = k\, (\,x_\mathrm{P}{}' - x_\mathrm{Q}{}' - l\, )\quad\cdots\cdots\maru{2} \] となります。
上式では，Ｐの運動方程式にＱの座標 $x_\mathrm{Q}{}'$ が，Ｑの運動方程式にＰの座標 $x_\mathrm{P}{}'$ が含まれているので，このままではこの微分方程式は解けません。
ところで質点系の重心位置は，一般に\[\Vec{r_\mathrm{G}} = \bun{\Sigma\,m_i\, \Vec{r_i}}{\Sigma\,m_i}\]で与えられますが，いまの場合， $x'$ 座標系の原点を重心Ｇの位置に設定しているのですから，$x'$ 座標系での重心座標は当然 $0$ です。よって，\[ x_\mathrm{G}{}' = 0 \\ \kern-1em \therefore \bun{m\, x_\mathrm{P}{}' + M\, x_\mathrm{Q}{}'}{m + M} = 0 \\[1.5em] \kern-1em \therefore m\, x_\mathrm{P}{}' + M\, x_\mathrm{Q}{}' = 0 \\[1em] \kern-1em \therefore \left \{ \begin{array}{rl} & \kern-1em x_\mathrm{Q}{}' = -\, \bun{m}{M}x_\mathrm{P}{}' \quad \cdots\cdots\maru{3} \\ & \kern-1em x_\mathrm{P}{}' = -\, \bun{M}{m}x_\mathrm{Q}{}' \quad \cdots\cdots\maru{4} \end{array} \right . \\ \] $\maru{3}$ 式を $\maru{1}$ 式に， $\maru{4}$ 式を $\maru{2}$ 式に代入して，それぞれ相手方物体の物理量を消去していきます。 \[\kern-4em \mathrm{P}:\quad m\ddif{x_\mathrm{P}{}'}{t} = -k \,\bigg\{\,x_\mathrm{P}{}' - \bigg(-\, \bun{m}{M}x_\mathrm{P}{}'\bigg) - l\, \bigg\} \\ \kern2em = -k\, \bigg(\bun{m + M}{M}x_\mathrm{P}{}' - l\bigg) \\ \kern2em = -\bun{m + M}{M}k \,\bigg( x_\mathrm{P}{}' - \bun{M}{m + M}l \, \bigg) \quad\cdots\cdots\maru{5}\\[2em] \kern-4em \mathrm{Q}:\quad M\ddif{x_\mathrm{Q}{}'}{t} = k\, \bigg\{\bigg(-\,\bun{M}{m}x_\mathrm{Q}{}'\bigg) - x_\mathrm{Q}{}' - l\, \bigg\} \\ \kern2em = k\, \bigg(-\,\bun{m + M}{m}x_\mathrm{Q}{}' - l\bigg) \\ \kern2em = -\bun{m + M}{m}k \,\bigg(x_\mathrm{Q}{}' + \bun{m}{m + M} l\bigg) \quad\cdots\cdots\maru{6} \] ここで \[K_\mathrm{P} = \bun{m + M}{M}k \\ K_\mathrm{Q} = \bun{m + M}{m}k \\ l_\mathrm{P} = \bun{M}{m +M}l \\ l_\mathrm{Q} = \bun{m}{m +M}l \]とおくと， $\maru{5}$ 式， $\maru{6}$ 式は，\[\kern-3em \mathrm{P}:\quad m\ddif{x_\mathrm{P}{}'}{t} = -\,K_\mathrm{P} (\,x_\mathrm{P}{}' - l_\mathrm{P} ) \quad \cdots\cdots\maru{5}' \\ \kern-3em \mathrm{Q}:\quad m\ddif{x_\mathrm{Q}{}'}{t} = -\,K_\mathrm{Q} (\,x_\mathrm{Q}{}' + l_\mathrm{Q} ) \quad \cdots\cdots\maru{6}'\] となり，ＰもＱも重心Ｇに対して単振動をすることが分かります。その角振動数は，\[ \kern-3em \left \{ \begin{array}{rl} & \kern-1em \mathrm{P}:\quad \omega_\mathrm{P} = \kon{\bun{K_\mathrm{P}}{m}} = \kon{\bun{(m + M)\,k}{m\,M}} \\ & \kern-1em \mathrm{Q}:\quad \omega_\mathrm{Q} = \kon{\bun{K_\mathrm{Q}}{M}} = \kon{\bun{(m + M)\,k}{m\,M}} \end{array} \right . \\[3em] \kern-2em \therefore \omega_\mathrm{P} = \omega_\mathrm{Q} \] つまりＰもＱも同じ角振動数で振動することになります。
台が固定されているときのＰの角振動数は $\omega = \kon{\bun{k}{m}}$ でしたから $\omega_\mathrm{P} = \omega_\mathrm{Q} > \omega$ であり，台も可動状態になっている場合の方が速い角振動数で，つまり短い周期で振動することになります。この場合，Ｐ，Ｑそれぞれが重心位置Ｇを固定端としたばね振り子のように振動をするため，あたかも短いばねに結ばれたばね振り子として振る舞うためです（ばね定数は，ばねの自然長に反比例します）。
またそれぞれの振動中心は， $\maru{5}'$ 式， $\maru{6}'$ 式のそれぞれ右辺を $0$ とおいて，\[\kern-2em \mathrm{P}:\quad x_\mathrm{P}{}' = \,l_\mathrm{P} = \bun{M}{m + M}l \\ \kern-2em \mathrm{Q}:\quad x_\mathrm{Q}{}' = - \,l_\mathrm{Q} = -\,\bun{m}{m + M}l \] ここで $\,l_\mathrm{P} $ ，$\,l_\mathrm{Q} $ は，ばねが自然長のときのＰ，Ｑの重心Ｇからの距離にほかなりません（図２を参照）。つまりそれぞれの振動中心は，ばねが自然長であった時のＰ，Ｑの位置（図２のｐ，ｑの位置）･･･ということになります。
また $\maru{3}$ 式， $\maru{4}$ 式で示したように $x_\mathrm{P}{}'$ と $x_\mathrm{Q}{}'$ は互いに負符号で結ばれており，ＰとＱは重心Ｇを挟んで反対側にあり，その変位量は質量に反比例していることになります。つまりＰとＱは，重心Ｇに対して常に逆向きに運動していることになります。
以上，重心に対する相対運動をまとめると，
(i) 振動中心は，ばねが自然長のときのＰ，Ｑの位置
(ii) 角振動数 $= \kon{\bun{(m + M)\, k}{m\,M}}$
(iii) ＰとＱは重心に対して逆向きに振動し，変位量は質量に反比例する
となります。この重心に対する相対運動に重心自身の運動を加えたものが，Ｐ，Ｑの床に対する運動････ということになります。
摩擦力を受けるばね振り子 に続く。