解説:波のエネルギー

 

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単振動のエネルギー



 上図のように,盤定数 $k$ のばねの先端に質量 $m$ の小球をつるしたばね振り子が,振幅 $A$, 角振動数 $\omega$ の単振動をしているとする。このとき $\omega$ と $k$ の関係は,\[\omega=\kon{\bun{k}{m}} \\ \therefore k=m\omega^2 \]の関係がある。またこのときの小球の変位 $y$ が,\[y=A\cos\omega \,t\]と表されるとき,小球の速度 $V$ は,\[V=\dif{y}{t} \\\quad =-\omega A\sin\omega \, t\]である。よってこのときの小球の力学的エネルギー $E$ は,\[E=\bun{1}{2}mV^2 + \bun{1}{2}k\, y^2 \\\quad =\bun{1}{2}m(-\omega A\sin\omega \, t)^2 + \bun{1}{2}m\omega^2(A\cos\omega\, t)^2 \\\quad =\bun{1}{2}m\omega^2A^2 = 一定 \cdots\cdots\maru{1} \]これは,単振動におけるエネルギー保存則を表す。


1次元媒質を伝わる波のエネルギー


 図2のように,波を伝える1次元媒質(線密度は $\rho$ )が,$x$ 軸に沿ってある。この媒質上を,角振動数 $\omega$ ,振幅 $A$ の波が速さ $v$ で $x$ 軸の正方向に伝わっている。
 このときこの媒質上各点における単位長あたりの振動エネルギーは,上記で求めた $\maru{1}$ 式において,質量$m$を,この媒質の線密度 $\rho$ に置き換えたものに等しい。よって長さ $\varDelta x$ の部分に含まれている振動エネルギー $\varDelta \varepsilon$ は,\[\varDelta \varepsilon = \bun{1}{2}\rho \omega^2A^2\times\varDelta x \]と表される。
 この媒質上を振動が速さ $v$ で次々と移動していくのであるから,これに伴って振動エネルギーもこの媒質上を速さ $v$ で移動していくことになる。よって単位時間にこの媒質上の1点を通過していくエネルギー $\varepsilon$ は,\[\varepsilon =\bun{\varDelta \varepsilon}{\varDelta t} \\\quad =\bun{1}{2}\rho \omega^2A^2\bun{\varDelta x}{\varDelta t} \\\quad = \bun{1}{2}\rho\omega^2A^2 \cdot v \]となる。
 一般に,角振動数 $\omega=2\pi f$ ( $f$ :振動数),振幅 $A$ の波が速さ $v$ で伝わるとき,単位時間に運ばれる波のエネルギー(波の強さ) $I$ は,\[I \, \propto \, \omega^2\, A^2\, v \, \propto f^2 \, A^2 \, v \]の関係がある。この関係は,2次元,3次元媒質を伝わる波動についても成立する。