☆本シミュレーション『力学的解析』の概要：

　上図のように粒子が並んでいて， $(n-1)$ 番目， $n$ 番目，$(n+1)$ 番目の各粒子の変位がそれぞれ $y_{n-1}$ ， $y_n$ ， $y_{n+1}$ であるとき， $n$ 番目粒子の加速度を $a_n$ ，粒子の質量を $m$ ，となりの粒子との間にはたらく力を $S{}\,'$ ， $S$ ，$n$ 番目粒子ととなりの粒子を結ぶ線が $x$ 軸となす角をそれぞれ $\theta_n{}'$ ， $\theta_n$ とすると， $n$ 番目粒子の $y$ 方向の運動方程式は，\[ ma_n=S\times\sin\theta_n-S\,'\times\sin\theta_n{}' \]　ここで各粒子の振動振幅は十分に小さく， $\theta_n$ ， $\theta_n{}'$ は十分に小さい値として，\[\sin\theta_n \kinji \tan\theta_n ，\quad \cos\theta_n \kinji 1 \\ \sin\theta_n{}' \kinji \tan\theta_n{}' ，\quad \cos\theta_n{}' \kinji 1\]が成り立つとする。粒子は $y$ 方向にのみ振動しているのであるから $x$ 方向に釣り合いが成立していることになるので，\[ \, 0=S\times\cos\theta_n -S\,'\times\cos\theta_n{}' \\ \quad \kinji S\times 1 - S\,'\times 1 \\ \therefore S\,'=S \]　すなわち，各粒子間に働く力の大きさはすべて等しいことになるので，これを $S$ とする。よって上記運動方程式は，\[ma_n=S\times\sin\theta_n - S\,'\times\sin\theta_n{}'\\　　\kinji S\times\tan\theta_n-S\times\tan\theta_n{}' \\　　= S\bun{y_{n+1}-y_n}{l}-S\bun{y_n-y_{n-1}}{l} \\ 　　=-\bun{S}{l}(2y_n-y_{n+1}-y_{n-1}) \cdots\cdots\maru{1}\]となる。これらの運動方程式を媒質粒子の数だけ立てて，その連立方程式をルンゲ・クッタ法と呼ばれる解析法で数値解析しているのが本シミュレーションである。
　このシミュレーションは，きわめて単純化したモデルではあるが，媒質各粒子の振る舞いを力学面から解析したものであり，実際の波動の発生に近い状況を表していると考えられる。
　ただしこのモデルでは，媒質両端における無反射条件が考慮されていない。先の理論式によるシミュレーションの場合，無限に続く媒質上における理論式を元にしたシミュレーションであり，媒質境界における反射は一切ないものとしている。現実には無限に続く媒質はこの世には存在しないわけで，有限である。有限であれば必ず媒質の『端』があり，現実には境界からの反射の影響が必ずあることになる。その意味では，むしろ本シミュレーションの方が実態に近いともいえる。
（本シミュレーションでは，両端での反射の影響を小さくするために，波の減衰処理を行ってある。）

☆質点列を伝わる横波の速さ：
　
　上記の質点列に垂直な方向の振動が入射してきたとして，このときこの振動（横波）が伝わっていく速さ$v$を求めてみよう。さらにこのことから，連続的な媒質，たとえば弦などを伝わる横波の速さを推測してみよう。

　入射した振動により，各質点は周期 $T$ ，振幅 $A$ の単振動をするものとする。このとき $n$ 番目， $(n-1)$ 番目， $(n+1)$ 番目の各粒子の時刻 $t$ での変位 $y_n$ ， $y_{n-1}$ ， $y_{n+1}$ がそれぞれ以下のように表させるものとする。 　\[ \left \{ \begin{array}{rl} & \kern -1em y_n=A\sin\bigg(\bun{2\pi}{T}t+\delta\bigg)\\ & \kern -1em y_{n-1}=A\sin\bigg\{\bun{2\pi}{T}\bigg(t+\bun{l}{v}\bigg)+\delta\bigg\} \\ & \kern -1em y_{n+1}=A\sin\bigg\{\bun{2\pi}{T}\bigg(t-\bun{l}{v}\bigg)+\delta\bigg\} \end{array} \right . \] 　ここで， $l\,$ は粒子間の間隔， $\delta$ は初期位相である。振動が $n$ の小さい方から伝わってきているとすると， $(n-1)$ 番目の粒子は $n$ 番目の粒子より $\bun{l}{v}$ の時間だけ早く振動が伝わっており，振動がその分だけ先行していることになる。逆に $(n+1)$ 番目の粒子は $n$ 番目の粒子より $\bun{l}{v}$ の時間だけ遅れて振動しているので，上式のように表されることになる。
　ここで，$ \sin\alpha + \sin\beta = 2\cos\bun{\alpha-\beta}{2} \cdot \sin\bun{\alpha+\beta}{2}$ の公式を使うと， \[　y_{n-1}+y_{n+1}=A\sin\bigg\{\bun{2\pi}{T}\bigg(t+\bun{l}{v}\bigg)+\delta\bigg\} + A\sin\bigg\{\bun{2\pi}{T}\bigg(t-\bun{l}{v}\bigg)+\delta\bigg\} \\ 　　　　　=2A\cos\bigg(\bun{2\pi l}{Tv}\bigg)\times \sin\bigg(\bun{2\pi}{T}t+\delta\bigg)\\ 　　　　　=2\cos\bigg(\bun{2\pi l}{Tv}\bigg)\times y_n\cdots\cdots\maru{2} \] であるから，$n$ 番目粒子の運動方程式は，前記 $\maru{1}$ 式に $y_{n-1} + y_{n+1}$ を代入して，\[　ma_n=-\bun{S}{l}(2y_n - y_{n-1} - y_{n+1})\\　=-\bun{2S}{l}\bigg\{1-\cos\bigg(\bun{2\pi l}{Tv}\bigg)\bigg\}\times y_n \cdots\cdots\maru{3} \] 　これが $n$ 番目粒子の運動方程式であり，確かに単振動の運動方程式の形になっている。
　一方各粒子は周期 $T$ の単振動をしているのであるから，その運動方程式は一般式として，角振動数を $\omega=\bun{2\pi}{T}$ として，\[　a_n=-\omega^2\cdot y_n=-\bigg(\bun{2\pi}{T}\bigg)^2\cdot y_n \cdots\cdots\maru{4}\]と表されるはずである。 $\maru{3}$ と $\maru{4}$ の比較より，
　（$ \cos\theta=1-2\sin^2\bun{\theta}{2}$　の公式を利用）\[　\bigg(\bun{2\pi}{T}\bigg)^2=\bun{2S}{ml}\bigg\{1-\cos\bigg(\bun{2\pi l}{Tv}\bigg)\bigg\}\\ 　　　=\bun{2S}{ml}\bigg[1-\bigg\{ 1-2\sin^2\bigg( \bun{2\pi l}{2Tv} \bigg) \bigg\} \bigg]\\　　　= \bun{4S}{ml}\sin^2\bigg(\bun{\pi l}{Tv}\bigg) \\ \therefore \bun{2\pi}{T}=2\kon{\bun{S}{ml}\,}\,\sin\bigg(\bun{\pi l}{Tv}\bigg)\] 　ここで $v$ は振動が伝わっていく速さであり，これに周期 $T$ を乗じた値 $Tv$ は，波動で言うならば１波長 $\lambda$ に相当する。よって質点が十分に密に詰まっているとして　$l \ll \lambda=Tv$　であるならば， $\bigg| \bun{\pi l}{Tv}\bigg | \ll 1$　が言える。よって $ |\theta | \ll 1$ のとき成り立つ　$\sin\theta \kinji \theta$　なる近似式を適用して，\[　\bun{2\pi}{T}=2\kon{\bun{S}{ml}\,}\,\sin\bigg(\bun{\pi l}{Tv}\bigg) \kinji 2\kon{\bun{S}{ml}\,}\,\times \bun{\pi l}{Tv} \\　\therefore \color{blue}{\underline{v=\kon{\bun{Sl}{m}}}} \quad \cdots\cdots\maru{5} \] 　これが，この場合の質点列を横波が伝わっていく速さとなる。


☆弦を伝わる横波の速さ：
　
　上記 $\maru{5}$ 式より，\[v=\kon{\bun{Sl}{m}}=\kon{\bun{S}{m/l}}\] 　ここで $m$ は間隔（長さ） $l$ の間に含まれている小球の質量だが，$\bun{m}{l}$ は言うなれば「単位長あたりに含まれる質量」の意味をもつ。
　弦は質点が一次元的に繋がった連続体と考えることができるが，上記において，小球間隔 $l$ をどんどん小さくし，その中に質量の小さな小球（質点）をぎっしりと詰め込んでいったと仮定すると，その極限において，弦のような一次元の連続体ができあがることになるだろう。このとき $\bun{m}{l}$ は，この弦のような連続体の線密度（単位長あたりの質量）に相当する量になる。\[\lim_{l \to 0}\bun{m}{l} = 線密度 \] 　また $S$ は弦の張力に相当すると考えることができるので，線密度 $\rho$ ，張力 $S$ の弦を伝わる横波の速さ $v$ は，上記 $\maru{5}$ 式で $l \rightarrow 0$ の極限を考えて，

\[ 　\fbox{$\bf{弦を伝わる横波の速さ}\bbold{v=\kon{\bun{S}{\rho}} \quad\quad }$} \]

となり，よく知られた弦を伝わる横波の速さの公式が得られることになる。