命題論理の自然演繹における諸定理：命題論理の自然演繹における諸定理【3】矛盾律の証明　[数学についてのwebノート]

命題論理の自然演繹における諸定理【3】矛盾律

Aに、どのような論理式(命題変数単体に限らない)をいれても、

　　￢(A∧(￢A))　

は、【命題論理における自然演繹】の定理。

矛盾律の証明

命題論理の形式的体系「自然演繹」に準拠した操作
　端的には、
　　・仮定の書き出し　
　　・推論規則「∧除去則」による書き換え　
　　・推論規則「￢除去則」による書き換え　
　　・推論規則「￢導入則」による書き換え　
　のみで、
　論理式「￢(A∧(￢A))」が得られる
　ことを示す。　

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　→step03
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[step1]　自然演繹で認められた操作(2)仮定の書き出し

　論理式「A∧(￢A)」を仮定1として、書き出す。

	仮定1　　A∧(￢A)


	【文献】　・戸田山『論理学をつくる』9.2.3練習問題68(2)(p.228)解答はp.406:。　・野矢『論理学』1-2-3-LP-命題論理の諸定理-定理3(p.70);付録-定理3(p.216) 　・前原『記号論理入門』7章§2.1(pp.123-4):「A∧(￢A)⇔⋏　　」　*　テキスト間でみられる名称の揺れ：　　　　・law of contradiction　　　[戸田山pp.44-45][清水p.13] 　　　　・law of non-contradiction　[戸次p.39]

[step2]自然演繹で認められた操作(3)推論規則による書き換え

　　・推論規則「∧除去則」にしたがって、
　　　「A∧(￢A)」を「A」へ、
　　　「A∧(￢A)」を「￢A」へ書き換える。
　　・推論規則「∧除去則」により、
　　　書き換え後に引き継がれる仮定は、書き換え前の仮定のすべてとなるから、
　　　書き換え後の「A」「￢A」は、仮定1「A∧(￢A)」のもとにある。
　　・これで、推論規則「∧除去則」による書き換えによって、
　　　仮定1「A∧(￢A)」から、
　　　「仮定1『A∧(￢A)』のもとで『A』」
　　　「仮定1『A∧(￢A)』のもとで『￢A』」
　　　が導出されたことになる。

	仮定1　　A∧(￢A)
		(∧除去)
	A

	仮定1　　A∧(￢A)
		(∧除去)
	￢A

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[step3]自然演繹で認められた操作(3)推論規則による書き換え

　　・推論規則「￢除去則」にしたがって、
　　　　「仮定1『A∧(￢A)』のもとでの『A』」
　　　　「仮定1『A∧(￢A)』のもとでの『￢A』」
　　　を、「⋏(矛盾)」へ書き換える。
　　・推論規則「￢除去則」により、
　　　書き換え後に引き継がれる仮定は、書き換え前の仮定のすべてだから、
　　　書き換え後の「⋏(矛盾)」は、仮定1「A∧(￢A)」のもとにある。

　　・これで、推論規則「￢除去則」による書き換えによって、
　　　「仮定1『A∧(￢A)』のもとで『A』」
　　　「仮定1『A∧(￢A)』のもとで『￢A』」
　　　から、
　　　　「仮定1『A∧(￢A)』のもとで『⋏』」
　　　が導出されたことになる。

	仮定1　　A∧(￢A)
		(∧除去)
	A

	仮定1　　A∧(￢A)
		(∧除去)
	￢A

(￢除去)

⋏

[step4]自然演繹で認められた操作(3)推論規則による書き換え

　　・推論規則「￢導入則」にしたがって、
　　　「仮定1『A∧(￢A)』のもとで『⋏』」を、「￢(A∧(￢A))」へ書き換える。
　　・推論規則「￢導入則」の規定にしたがうと、
　　　「￢(A∧(￢A))」への書き換え後に引き継がれる仮定は、
　　　　書き換え前の仮定「A∧(￢A)」から、仮定「A∧(￢A)」を差し引いた分だけとなるから、　　　
　　　「￢(A∧(￢A))」への書き換え後、
　　　　仮定はすべて差し引かれてなくなってしまい、
　　　　仮定なしの「￢(A∧(￢A))」が得られる。
　　・これで、
　　　推論規則「￢導入則」による書き換えで、
　　　「仮定1『A∧(￢A)』のもとで『⋏』」から、
　　　　仮定なしの「￢(A∧(￢A))」が導出されたことになる。

	[仮定1]　　[A∧(￢A)]
		(∧除去)
	A

	[仮定1]　　[A∧(￢A)]
		(∧除去)
	￢A

(￢除去)

⋏

(￢導入)仮定1を解消

￢(A∧(￢A))