→
戻る例４：
コブダグラス型生産関数を時間について微分（中谷『
入門マクロ経済学第三版』pp.162;356. 岩田『国際経済学』pp.79-80.）[設定]
t: 時間（ここでは、単位が年だとする）、
Y(t): t時点における産出量、
K(t): t時点における資本ストック、
L(t): t時点における労働投入量、
A(t) : t時点における技術水準、
α
: tと無関係で一定。０＜α＜１。とし、コブ＝ダグラス型生産関数
Y(t) = A(t) Lα(t) K1－α(t) …①
にしたがって、生産活動がなされているとする。
なお、
Y(t), A(t), L (t), K (t) は常にプラスで、tのすべての範囲で微分可能 …②とする。
[対数微分を用いて、①を増加率間の関係の形に変形]
手順
1. 等式①が成り立つなら、その両辺の絶対値の対数をとった等式も成り立つ。log| Y(t)| ＝ log| A(t) Lα(t) K1－α(t))|
②より、
log Y(t) ＝ log { A(t) Lα(t) K1－α(t) }
＝
log A(t) ＋ log Lα(t) ＋ log K1－α(t) ∵対数の性質＝
log A(t) ＋ αlog L (t) ＋ (1－α) log K (t) ∵対数の性質…③
手順
2. ③の左辺をtで微分する。関数の対数の微分を適用。( log Y(t) )’＝ Y ' (t)／Y (t) ∵②のもとで関数の対数の微分
…④
手順
3. ③の右辺をtで微分する。関数の対数の微分を適用。( log A(t) ＋ αlog L (t) ＋ (1－α) log K (t) )’
＝{
log A(t) }’＋{αlog L (t)}’＋{(1－α) log K (t)}’∵関数の和の微分＝{
log A(t) }’＋ α{log L (t)}’＋ (1－α){ log K (t)}’∵関数の定数倍の微分＝
A ' (t)／A(t)＋α{ L' (t)／L (t)}＋ (1－α){ K' (t)／K (t) } ∵②のもとで関数の対数の微分…⑤
手順４
.等式③が成り立つなら、その両辺を微分した等式も成り立つ。( log Y(t) )’＝ ( log A(t) ＋ αlog L (t) ＋ (1－α) log K (t) )’
④⑤の結果を代入して、
Y ' (t)／Y (t) ＝ A ' (t)／A(t)＋α{ L' (t)／L (t)}＋ (1－α){ K' (t)／K (t) } …⑥
[⑥の左辺の解釈]
t時点における産出量Y(t)の導関数
∵微分係数の定義
の意味を考えてみる。
まず、分子
Y(t+⊿t )－Y(t)は、t時点の産出量が、瞬間的な時間の長さ⊿t経過後、どれだけ増えたのかを示している。
これを、瞬間的な時間の長さ⊿
tで割ることは、tの単位あたり、ここでは「年次あたり」に、換算することを意味する。
ゆえに、
Y(t)の導関数全体は、t時点という「瞬間」における産出量の増大が「年率換算」を施すと何ポイントの増大幅となるのかを意味している。
ということは、
Y ' (t)／Y (t)は、t時点における産出量の「瞬間」的増大幅の年率換算値は、
t時点における産出量の
何パーセントにあたるかを、意味している。
これは、
t時点という瞬間の産出量の成長率にほかならない。瞬間なのに、単位は「年」何パーセント、となることに注意。
[⑥の右辺第一項の解釈]
t時点におけるt時点における技術水準A(t)の導関数
∵微分係数の定義
の意味を考えてみる。
まず、分子
A(t+⊿t )－A(t)は、t時点の技術水準が、瞬間的な時間の長さ⊿t経過後、どれだけ増したのかを示している。
これを、瞬間的な時間の長さ⊿
tで割ることは、tの単位あたり、ここでは「年次あたり」に、換算することを意味する。
ゆえに、
A(t)の導関数全体は、t時点という「瞬間」における技術水準の向上が「年率換算」を施すと何ポイントの向上幅となるのかを意味している。
ということは、
A ' (t)／A (t)は、t時点における技術水準の「瞬間」的向上幅の年率換算値は、
t時点における技術水準の
何パーセントにあたるかを、意味している。
これは、
t時点という瞬間の技術の成長率とでもいえるものである。瞬間なのに、単位は「年」何パーセント、となることに注意。
[⑥の右辺第二項の解釈]
t時点における労働投入量Lの導関数
∵微分係数の定義
の意味を考えてみる。
まず、分子
L(t+⊿t )－L(t)は、t時点の労働投入量に加えて、瞬間的な時間の長さ⊿t経過後、労働がどれだけ新たに投入されたのかを示している。
これを、瞬間的な時間の長さ⊿
tで割ることは、tの単位あたり、ここでは「年次あたり」に、換算することを意味する。
ゆえに、
L(t)の導関数全体は、t時点という「瞬間」において「新たに追加された」労働投入量が「年率換算」を施すと何単位の増分となるのかを意味している。
ということは、
L ' (t)／L (t)は、t時点における労働投入量の「瞬間」的増分の年率換算値は、
t時点における労働投入量の
何パーセントにあたるかを、意味している。
これは、
t時点という瞬間の労働投入量の成長率にほかならない。瞬間なのに、単位は「年」何パーセント、となることに注意。
[⑥の右辺第三項の解釈]
t時点における資本ストックKの導関数
∵微分係数の定義
の意味を考えてみる。
まず、分子
K (t+⊿t )－K(t)は、t時点の資本ストックに加えて、瞬間的な時間の長さ⊿t経過後、資本がどれだけ新たに追加されたのかを示している。
これを、瞬間的な時間の長さ⊿
tで割ることは、tの単位あたり、ここでは「年次あたり」に、換算することを意味する。
ゆえに、
K(t)の導関数全体は、t時点という「瞬間」において「新たに追加された」資本が「年率換算」を施すと何単位の増分となるのかを意味している。
ということは、
K ' (t)／K (t)は、t時点における資本ストックの「瞬間」的増分の年率換算値は、
t時点における資本ストックの
何パーセントにあたるかを、意味している。
これは、
t時点という瞬間の資本ストックの成長率にほかならない。瞬間なのに、単位は「年」何パーセント、となることに注意。
[⑥の右辺全体の解釈]
だから、⑥は、産出量の成長率
(%／年)は、その時点の技術の成長率
(%／年)に、労働の成長率
(%／年)のα倍と、資本の成長率
(%／年)の(1－α)倍を足し合わせたものである
と主張していることになる。
|
→ 戻る |
|